Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber

Præsentationer af emnet: "Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber"— Præsentationens transcript:

1 Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber
Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

2 Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag
Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden Start 8:15!!!! Kursusgang: 2 x 45 min forelæsning + opgaveregning Indhold: Groft sagt kapitel 1 til 11 i Newbold Eksamen: Individuel mundtlig efter 7-trins skala Eksamen tager udgangspunkt i et antal opgaver. Software: SPSS

3 Flyskræk! Passer overskriften? Er du tryg ved at flyve?
Politiken 6/12-’07 Er du tryg ved at flyve? Ja: 86% i % i 2007 Er der virkelig sket en ændring eller kunne det lige så godt være tilfældigt? Svaret kommer til sidst i kurset ;-)

4 Nogle definitioner Population: Mængden af alle ”individer” vi er interesserede i. fx alle virksomheder i DK Parameter: Et deskriptivt mål for populationen (for eksempel middelværdi og varians). fx gennemsnits antal ansatte Stikprøve (sample): Mængde af data taget fra en delmængde af populationen fx 10 tilfældigt udvalgte virksomheder Statistik: Et deskriptivt mål for stikprøven. fx gennemsnits antal ansatte blandt de 10. Variabel: En karakteristik af populationen eller stikprøven fx antal ansatte, omsætning, region, type

5 Typisk statistisk problemstilling
Vi ønsker at udtale os om en population (alle flyrejsende) ud fra en stikprøve (et udsnit af de flyrejsende). Vi vil udtale os om en parameter for populationen (andelen af trygge flyrejsende) ud fra en stikprøve statistik (andelen af trygge flyrejsende i stikprøven). Parameteren er aldrig kendt! Vigtigt: Vi er ”ligeglade” med medlemmerne af stikprøven! Det er populationen vi vil udtale os om!

6 Lidt om stikprøver Simpel tilfældig stikprøve:
Alle medlemmer i populationen har lige stor sandsynlighed for at blive udvalgt til stikprøven Notation: N : Størrelsen af populationen (alle vælgere) n : Størrelsen af stikprøven (antal udvalgte) ∗ Stikprøve: ∙ Population ∙ ∗ ∗ ∙ ∙ ∙ ∙ ∗ ∙ ∙ ∙ ∙ ∗ ∗ ∙ ∙

7 Deskriptiv versus inferential statistik
Deskriptiv statistik: Metoder til at organisere og præsentere data på en informativ måde. Inferential statistik Omhandler: Estimation, test af hypoteser, analyse af sammenhæng og forudsigelse. Eksempel: Hvad er middel-indkomsten i region nord? Er den større en ?

8 Deskriptiv Statistik Data består af en eller flere variable, fx højde, køn, alder, favoritfarve for hvert medlem i stikprøven. Hvordan data (de enkelte variable) opsummeres / beskrives afhænger bl.a. datas ”natur”. Hovedopdeling: Kategorisk eller numerisk variabel Kvalitativ variabel: Kategorisk variabel, forskelle giver ikke mening. Kvantitative variable: numerisk variabel, forskelle giver mening.

9 Kategoriske variable Variable hvis værdi er en kategori, fx.
Ryger: Ja , Nej Godt vejr: Meget enig, devis enig, … , meget uenig Favoritfarve: Rød, grøn, anden Ordinal kategorisk variabel Kategorierne har en rækkefølge (Godt vejr) Nominal kategorisk variabel Kategorierne har ikke en rækkefølge (Favoritfarve)

10 Deskriptiv statistik: Kategoriske variable
Kategorisk variable opsummeres typisk i et bar plot Højden af baren svarer til frekvensen (dvs. antallet) af medlemmer af hver kategori. Antal Andele Kumulative andele: Andelen af observationer der tilhører denne eller ”tidligere” kategorier.

11 Numerisk Variabel Variabel der tager en talværdi.
Diskret numerisk variabel Variabel kan tage et tælleligt antal værdier Typisk udtryk for et antal Fx. antal forsikring-anmeldelser på en uge Kontinuert numerisk variabel Variabel kan tage alle værdier i et interval Typisk udtryk for noget man kan måle. Fx. Højde, vægt, tid, afstand. Indkomst?

12 Histogram Numeriske data præsenteres typisk med et histogram
Histogrammet inddeler et interval i et passende antal delintervaller For hvert del interval er en kasse, hvis areal er proportional med frekvensen (dvs. antallet) af data i det interval.

13 Percentiler Det P’te percentil er den værdi, hvor P% af data ligger under. Antag vi har en stikprøve med n observationer. Antag observationerne er sorterede. Den P’te percentil er (ca) givet ved den (n+1)P/100’te observation. Eksempel: Antag n = 75 og P = 25. Find en værdi, så 25% af data ligger under denne værdi. Løsning: Vælg data punkt nr. 76*25/100 = 19

14 Kvartiler Kvartiler inddeler data i kvarte.
1. , 2. og 3. kvartil svarer til 25. , 50., og 75. percentiler. 25% af data ligger under 1. kvartil (Q1) 50% af data ligger under 2. kvartil (Q2) 75% af data ligger under 3. kvartil (Q3)

15 Centralitet og Variation
χ χ χ χχ χ χ χ χ χ χχχ χ χ χ Centralitet: Mål for ”hvor” data ligger Fx: Median, middelværdi, toppunkt (mode) Variation: Mål for hvor meget data er spredt ud Fx spænd (range), varians, standard afvigelse

16 Centralitet: Median Medianen er værdien af den ”midterste” observation. Medianen er 50% percentilen og 2. kvartil. n ulige : Medianen = midterste observation n lige : Medianen = gennemsnit af to midterste obs. n = antal observationer medianen medianen ? χ χ χχχ χ χ χ χ χχχ χ χ Data: 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17 n = 7

17 Gennemsnit / Middelværdi
Populationens gennemsnit (ukendt) (mean) xi er værdien for i ’te medlem i populationen. μ = ”my” Stikprøve-gennemsnit (sample mean) = ”x streg”. Bemærk: Græske bogstaver betegner det ukendte.

18 Gennemsnit: Eksempel Stikprøve-gennemsnit χ χ χχχ χ χ χ χ χχχ χ χ

19 Eksempel: Vægt Bemærk at vægt-fordelingen er lidt højre-skæv, dvs. fordelingen ”hælder” til højre.

20 Variansen Variansen er et mål for variationen.
Populationensvariansen (ukendt) σ = ”sigma” Stikprøve-varians De n-1 sikrer at s2 i gennemsnit er lig σ2.

21 Varians: Eksempel Stikprøve-gennemsnit ? ? χ χ χχχ χ χ χ χ χχχ χ χ
χ χ χχχ χ χ χ χ χχχ χ χ ? χ χ χχχ χ χ

22 Standardafvigelsen Standardafvigelsen er kvadratroden af variansen
Populationens standard afvigelsen (ukendt) Stikprøve-standard afvigelsen

23 Sammen middelværdi og varians (ca.)

24 Chebychevs Sætning Antag vi har en population med middelværdi μ
standard afvigelse σ For enhver konstant k > 1 gælder at intervallet indeholder mindst 100[1-(1/k2)]% af populationen. Eksempel: k = 2 ⇒ 100[1-(1/k2)]% = 100[1-1/4]% = 75% Dvs. intervallet μ ± 2 σ indeholder mindst 75%. For forrige slide (ca.) 0 ± 2*√5 = [ ; 4.48 ]

25 Tommelfinger regel For mange (store) populationer gælder
μ ± σ indeholder 68% af populationen μ ± 2 σ indeholder 95% af populationen μ - 2 σ μ + 2 σ χ χ χχχ χ χ μ

26 Eksempel: Vægt

27 Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

28 Udgangspunktet Eksperiment:
Handling, der leder frem til et af flere mulige udfald Fx. Kast med en terning Vælg 10 tilfældige virksomheder. Udfald: Observation eller måling Fx: Antal øjne på en terning 10 navngivne virksomheder.

29 Udfaldsrum Udfaldsrummet er mængden af mulige udfald af eksperimentet, S = {O1,O2,…,Ok} Udfaldene skal være ”udtømmende” Eksempler: Terningkast: S={1,2,3,4,5,6} S={1,2,3,4,5} dur ikke! Møntkast: S={plat, krone} S={plat} dur ikke Udfaldene må ikke ”overlappe” Terningkast: S={1,2,3,4,5,6} – S={1-2,2-3,3-4,4-5,5-6} dur ikke! Oi er i’te udfald af k mulige.

30 Hændelser En simpel hændelse er et udfald i udfaldsrummet
Eksempel: Terningkast – en 6’er er en simpel hændelse En hændelse er en mængde af en eller flere simple hændelser i et udfaldsrummet Eksempel: Terningkast – A={1,4,6} er en hændelse Hændelser kan indtegnes i et Venn diagram S 2,3,5 A 1, 4, 6 Venn Diagram

31 Sandsynlighed En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed – et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten af en usikker begivenhed. Sandsynligheden for en hændelse, A, betegnes P(A) En sandsynlighed er et reelt tal mellem 0 og 1. P(A) = 0 : Hændelsen A sker aldrig P(A) = 1 : Hændelsen A sker altid Ex: Sandsynligheden for regn i morgen er 0,5 Ex: Sandsynligheden for at få 7 rigtige i lotto er 0,

32 Klassisk Sandsynlighed
Antag at alle udfald forekommer med lige stor sand-synlighed. Da er sandsynligheden for en hændelse A givet ved: hvor NA er antal udfald i hændelsen A. N er antal udfald i udfaldsrummet S. Eksempel: Terningkast – lige sandsynlighed for alle udfald. Lad A={1,2,4} NA = 3 N = 6 P(A) = 3/6 = 0.5

33 Regler for sandsynlighed
Givet et udfaldsrum S={O1, O2,…, Ok} da skal sandsynlighederne opfylde: 1) For enhver hændelse A i udfaldsrummet S Dvs. sandsynlighden for en hændelse er et tal mellem 0 og 1. 2) For enhver hændelse A i udfaldsrummet S Dvs. sandsynligheden for en hændelse er summen af sandsynlighederne for de simple hændelser indeholdt i A. 3) P(S) = 1 Dvs summen af sandsynlighederne for alle simple hændelser i ufladsrummet er 1. r

34 Komplimentærmængden Komplementet af en mængde A, er mængden Ā, der indeholder alle elementer i S, der ikke er i A. Eksempel: S={1,2,3,4,5,6} og A={1,4,6}. Så er Ā={2,3,5} Spørgsmål: Antag vi kender P(A) . Find P(Ā) = S 2,3,5 A 1, 4, 6 Ā

35 Fællesmængden Fællesmængden af A og B, A ∩ B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i både A og B Eksempel: A = {1,2,3} , hændelsen at vi slår 1,2 eller 3 øjne. B = {3,4,5} , hændelsen at vi slår 3,4 eller 5 øjne. A ⋂ B , hændelsen at både A og B indtræffer. A ⋂ B = {3} 6 A ∩ B 1, 2 4, 5 A B S 3

36 Foreningsmængden Foreningsmængden af A og B, A U B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i A eller B eller begge Eksempel: A = {1,2,3} , hændelsen at vi slår 1,2 eller 3 øjne. B = {3,4,5} , hændelsen at vi slår 3,4 eller 5 øjne. A ⋃ B , hændelsen at A og/eller B indtræffer. A ⋃ B = {1,2,3,4,5} S A B A U B 1, 2 3 4, 5 6

37 Spørgsmål Antag vi kender følgende sandsynlighed P(A) P(B) P(A ⋂ B)
Hvad er sandynligheden for A ⋃ B P(A ⋃ B ) = 6 A ∩ B 1, 2 4, 5 A B S 3

38 Den tomme mængde Den tomme mængde betegnes Ø P(Ø) =
To mængder er disjunkte, hvis fællesmængden A ∩ B=Ø Dvs to disjunkte hændelser ikke kan indtræffe på samme tid (mutually exclusive). Antag A ∩ B=Ø. Hvad er da P(A ⋃ B) = ? S A={1,2,3} B={4,5} A ∩ B={Ø} A B 1, 2, 3 4, 5 6