Præsentation er lastning. Vent venligst

Præsentation er lastning. Vent venligst

1 Design, analyse og verifikation. 2 Design Bevisteknikker Design ved hjælp at matematisk induktion Analyse O-notation Logaritmer Binær søgning Verifikation.

Lignende præsentationer


Præsentationer af emnet: "1 Design, analyse og verifikation. 2 Design Bevisteknikker Design ved hjælp at matematisk induktion Analyse O-notation Logaritmer Binær søgning Verifikation."— Præsentationens transcript:

1 1 Design, analyse og verifikation

2 2 Design Bevisteknikker Design ved hjælp at matematisk induktion Analyse O-notation Logaritmer Binær søgning Verifikation Påstande Et eksempel på verifikation Plan

3 3 Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis). Antag at det givne teorem er falsk. Konkluder at dette vil føre til en modstrid. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Teorem. Der findes uendeligt mange primtal. Bevis: Antag at der findes et endeligt antal primtal, p 1, p 2,..., p k. Betragt nu tallet N = p 1. p 2... p k +1. N er større end p k. Men ingen af de kendte primtal går op i N (resten ved division er 1). Så N må være et primtal. Vi har dermed en modstrid, hvilket beviser sætningen.

4 4 Matematisk induktion uformel beskrivelse Hvis (1) jeg kender den forreste person, og (2) hvis jeg for enhver person, jeg kender i køen, også kender dennes efterfølger, så kender jeg alle personer i køen. Også selv om køen er uendelig lang. Nogle personer står i en kø:

5 5 Lad T være et teorem, der skal bevises, og lad T være udtrykt i termer af heltalsparameteren n. Teoremet T gælder da for enhver værdi af n ≥ c, hvor c er en konstant, hvis følgende to betingelser er opfyldt: 1. Basistilfældet: T gælder for n = c, og 2. Induktionsskridtet: Hvis T gælder for n-1, så gælder T for n. Matematisk induktion formel beskrivelse Antagelsen i induktionsskridtet kaldes induktionshypotesen.

6 6 Eksempler på simpel induktion Teorem: Summen S(n) af de første n naturlige tal er n(n+1)/2. Bevis: (1) Basistilfældet. For n = 1 er S(1) =1, hvilket stemmer med formlen. (2) Induktionsskridtet. Antag at sætningen gælder for n-1, dvs. S(n-1) = (n-1)n/2. S(n) = S(n-1) + n = (n-1)n/2 + n = n(n+1)/2. Dermed gælder sætningen også for n.

7 7 Bevis: (1)Basistilfældet. 4 kroner kan veksles ved hjælp af to 2-kroner. (2) Induktionsskridtet. Antag at n-1 kroner kan veksles. Vi kan vise, at denne veksling kan benyttes som udgangspunkt til at veksle n kroner. Enten indeholder vekslingen en 5-krone, eller også gør den ikke. I første tilfælde erstattes 5-kronen med tre 2-kroner. I andet tilfælde erstattes to 2-kroner med en 5-krone. Teorem: Ethvert beløb ≥ 4 kroner kan veksles i et antal 2-kroner og et antal 5-kroner.

8 8 Stærk induktion Teoremet T gælder for enhver værdi af n ≥ c, hvor c er en konstant, hvis følgende to betingelser er opfyldt: 1. Basistilfældet: T gælder for n = c, og 2. Induktionsskridtet: Hvis T gælder for ethvert k, c ≤ k < n, så gælder T for n.

9 9 Induktionsprincippet kan benyttes konstruktivt. Løsning af små problemer benyttes til at løse større problemer. Induktion kan benyttes ved design af algoritmer (1) Start med en vilkårlig instans af problemet. (2) Prøv at løse dette under antagelse af, at det samme problem - men af mindre størrelse - er blevet løst.

10 10 Eksempel: Sortering af n tal i stigende rækkefølge Antag at vi kan sortere n-1 tal. Vi kan da opnå en sortering af n tal ved enten (1) først at sortere n-1 af tallene, og derefter indsætte det n´te tal på den rette plads (sortering ved indsættelse), eller (2) bestemme det mindste af de n tal og sætte det forrest, sortere de resterende tal, og derefter sætte dem bagefter dette forreste tal (sortering ved udvælgelse).

11 11 Eksempel: Den maksimale delsekvenssum Problem. Givet en sekvens (a 1,a 2,.., a n ) af reelle tal. Find en delsekvens (a i,a i+1,.., a j ) af konsekutive elementer, sådan at summen af dens elementer er størst mulig. Eksempel. For sekvensen (-2, 11, -4, -1, 13, -5, 2) er den maksimale delsekvens (11, -4, -1, 13) med summen 19. Hvis alle elementer er positive, er sekvensen selv maksimal. Hvis alle elementer er negative, er den maksimale delsekvens tom. Idet den tomme delsekvens har summen 0.

12 12 En simpel algoritme maxSum = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { for (j = i; j <= n; j++) { sum = 0; for (k = i; k <= j; k++) sum += a[k]; if (sum > maxSum) maxSum = sum; } i j aiai ajaj

13 13 Forbedret algoritme maxSum = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { sum = 0; for (j = i; j <= n; j++) { sum += a[j]; if (sum > maxSum) maxSum = sum; } Fjern den inderste løkke. Udnyt at

14 14 Hvis n = 1, så kan den maksimale delsekvens let bestemmes. Hvis tallet er positivt, består den af tallet selv. Ellers er den tom. Lad S = (a 1,a 2,.., a n ) og S’ = (a 1,a 2,.., a n-1 ). Lad S’ M være den maksimale delsekvens for S’. a1a1 a2a2 anan a n-1 S S’ S’ M Hvis S’ M er tom, er den maksimale delsekvens for S tom, hvis a n er negativ, ellers lig med (a n ). Induktionshypotese: Vi ved, hvordan den maksimale delsekvens findes for en sekvens af længde n-1.

15 15 Hvis j = n-1, udvides S’ M med a n, hvis og kun hvis a n er positiv. Antag at S’ M ikke er tom, dvs. S’ M = (a i,a i+1,.., a j ), for 1 ≤ i ≤ j ≤n-1. a1a1 a2a2 anan a n-1 S S’ S’ M

16 16 Hvis j < n-1 er der to tilfælde: (1) Enten er S’ M også maksimal for S. (2) Eller der er en anden delsekvens, der ikke er maksimal i S’, men som er maksimal i S, når a n tilføjes. Hvilket tilfælde, der er tale om, kan ikke afgøres på baggrund af den foreliggende information: S’ M. Men da a n kun forlænger en delsekvens, der ender i a n-1, dvs. er et suffix for S’, kan afgørelsen træffes, hvis vi kender det maksimale suffix S’ E = (a i,a i+1,.., a n-1 ) for S’. Induktionshypotesen skærpes. a1a1 a2a2 anan a n-1 S S’ S’ M

17 17 Skærpet induktionshypotese: Vi ved, hvordan den maksimale delsekvens og det maksimale suffix findes for en sekvens af længde n-1. Vi når derved frem til følgende algoritme: maxSum = maxSuffix = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { maxSuffix += a[i]; if (maxSuffix > maxSum) maxSum = maxSuffix; else if (maxSuffix < 0) maxSuffix = 0; }

18 18 Empirisk undersøgelse af algoritmernes tidsforbrug static void randomFill(int[] a) { java.util.Random r = new java.util.Random(7913); for (int i = 0; i < a.length; i++) a[i] = r.nextInt() % 1000; } public static void main(String [] args) { for (int n = 10; n <= 1000000; n *= 10) { System.out.println("n = " + n); int a[] = new int[n]; randomFill(a); long start = System.currentTimeMillis(); int maxSum = maxSubSum1(a); System.out.println(" Time used: " + (System.currentTimeMillis() - start)/1000.0); System.out.println(); }

19 19 Observerede køretider

20 20 Kurvefitning med MacCurveFit MaxSubSum1

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25 Algoritmeanalyse Beskrivelse af algoritmers ressourceforbrug Vurdering af algoritmers tids- og pladsforbrug. Nyttigt: (1) ved valg imellem eksisterende algoritmer (2) ved udvikling af nye algoritmer

26 26 O-notation benyttes til at angive en øvre grænse for en algoritmes ressourceforbrug (tid eller plads), idet der ses bort fra konstante faktorer. At en algoritmes tidsforbrug er O(f(n)), hvor n er et udtryk for problemets “størrelse”, betyder: (1) Intuitiv definition: Algoritmens tidsforbrug vokser i værste tilfælde som f(n), når blot n er tilstrækkelig stor. (2) Formel definition: Der eksisterer to konstanter, c og N 0, således at algoritmens tidsforbrug er opadtil begrænset af cf(n) for alle n ≥ N 0. O-notation

27 27 O-notationen fokuserer på den generelle kurveform (ser bort fra proportionali- tetskonstanter). O-notationen muliggør vurderinger af algoritmers effektivitet (kompleksitet), som er uafhængige af det valgte programmeringssprog, oversætter og maskinel. Illustration af udsagnet “g(n) er O(f(n))” cf(n) g(n) N0N0 n

28 28 Kurver for n 2, n og log 2 n log 2 n n2n2 n

29 29 log b betegner logaritmefunktionen med base b. log b N = x  b x = N Værd at vide om logaritmer Specielt gælder log 10 (10N) = 1 + log 10 N log 2 (2N) =1 + log 2 N To særligt interessante logaritmefunktioner er log 10 og log 2. log 10 N = x  10 x = N log 2 N = x  2 x = N log b (M*N) = log b M + log b N

30 30 Alle logaritmefunktioner er proportionale Eksempel: log 2 N = k*log 10 N, hvor k = 1/log 10 2 ≈ 3.3 Funktionskurve for log 2 N N log 2 N ° ° ° ° °

31 31 Brug af log 2 Gentagen fordobling Hvis vi starter med X = 1, hvor mange gange kan X da fordobles, før X bliver større end eller lig med N? Svar:  log 2 N  det nærmeste heltal, der er større end eller lig med log 2 N. Gentagen halvering Hvis vi starter med X = N, hvor mange gange kan X da halveres, før X bliver mindre end eller lig med 1? Svar:  log 2 N   det nærmeste heltal, der er mindre end eller lig med log 2 N.

32 32 Eksempler: Hvis f(n) = dominerende led + ikke-dominerende led, så er O(f(n)) = O(dominerende led) Regneregler for O-notationen Præcedensregler: O(1) < O(log n) < O(n) < O(n log n) < O(n 2 ) < O(n 3 ) < O(2 n ) < O(10 n ) < O(n!) O(1): konstant, O(log n): logaritmisk, O(n): lineær, O(n 2 ): kvadratisk, O(n 3 ): kubisk, O(n c ): polynomiel, O(c n ): eksponentiel (hvor c > 1) O(6n 3 ) = O(n 3 ) O(log b n) = O(log n) O(300) = O(1) O(n 3 + n log n) = O(n 3 ) O(n 3 - 10000n 2 + 10000) = O(n 3 )

33 33 x *= i; Tidsforbrug: O(1) (konstant) Eksempler på analyse for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= i; j++) x *= i+j; Tidsforbrug: O(n(n+1)/2) = O(n 2 /2+n/2) = O(n 2 ) for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= n; j++) x *= i+j; Tidsforbrug: O(n 2 ) (kvadratisk) for (i = 1; i <= n; i++) x *= i; Tidsforbrug: O(n)(lineært)

34 34 maxSum = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { for (j = i; j <= n; j++) { sum = 0; for (k = i; k <= j; k++) sum += a[k]; if (sum > maxSum) maxSum = sum; } Eksempel på analyse (Den maksimale delsekvenssum) Tidsforbrug: O(n 3 ) (kubisk) maxSum1:

35 35 maxSum = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { sum = 0; for (j = i; j <= n; j++) { sum += a[j]; if (sum > maxSum) maxSum = sum; } Tidsforbrug: O(n 2 ) (kvadratisk) maxSum2:

36 36 maxSum = maxSuffix = 0; for (i = 1; i <= n; i++) { maxSuffix += a[i]; if (maxSuffix > maxSum) maxSum = maxSuffix; else if (maxSuffix < 0) maxSuffix = 0; } Tidsforbrug: O(n)(lineært) maxSum3:

37 37 Søgning er det problem at afgøre, om en mængde af objekter indeholder et objekt, der opfylder visse specificerede krav, og i givet fald finde det. Søgning Søgning er genfinding af lagret information. Informationen har form af poster, der hver har en nøgle. Målet med en søgning er at finde den eller de poster, der har en nøgle, der matcher en given søgenøgle. Søgning er den mest tidsforbrugende aktivitet i mange programmer. At erstatte en dårlig søgemetode med en god giver ofte en væsentlig effektivitetsforbedring.

38 38 Klassifikation af søgemetoder intern/ekstern søgning statisk/dynamisk søgning søgning baseret på nøglesammenligninger/ digitale egenskaber ved nøglerne søgning baseret på de aktuelle nøgler/ transformerede nøgler

39 39 Interfacet Comparable public interface Comparable { int compares(Comparable rhs); boolean lessThan (Comparable rhs); } Objekter, der skal sammenlignes, skal implementere dette interface. lhs.compares(rhs), hvor lhs og rhs er to Comparable -objekter, skal returnere -1, 0 eller 1, alt efter om lhs er “mindre end”, “lig med” eller “større end” rhs. lhs.lessThan(rhs) skal returnere true, hvis lhs er “mindre end” rhs. Ellers false.

40 40 Eksempel på brug af Comparable public class MyInteger implements Comparable { public MyInteger(int x) { value = x; } public int intValue() { return value; } public int compares(Comparable rhs) { return value < ((MyInteger) rhs).value ? -1 : value > ((MyInteger) rhs).value ? 1 : 0; } public boolean lessThan(Comparable rhs) { return value < ((MyInteger) rhs).value; } private int value; }

41 41 int sequentialSearch(Comparable[] a, Comparable key) throws ItemNotFound { for (int i = 0; i < a.length; i++) if (a[i].compares(key) == 0) return i; throw new ItemNotFound(); } Sekventiel (lineær) søgning Sekventiel søgning i et usorteret array bruger altid N sammenligninger for en mislykket søgning, og gennemsnitligt (N+1)/2 sammenligninger for en succesfuld søgning. Tidskompleksiteten for sekventiel søgning er O(N).

42 42 Binær søgning i et sorteret array Metode: Opdel arrayet i to (næsten) lige store dele. Afgør i hvilken af de to dele, nøglen skal findes. Fortsæt søgningen i denne del på samme måde. Eksempel: Søgning efter N. A B E F G H I L M N P R S X L M N P R S X L M N N

43 43 int binarySearch(Comparable[] a, Comparable key) throws ItemNotFound { int low = 0, high = a.length - 1; while (low <= high) { int mid = (low + high)/2; if (a[mid].compares(key) < 0) low = mid + 1; else if (a[mid].compares(key) > 0) high = mid - 1; else return mid; } throw new ItemNotFound(); } Implementation af binær søgning Algoritmen bruger altid  log 2 N  +1  sammenligninger for en mislykket søgning, og gennemsnitligt  log 2 N  sammenligninger for en succesfuld søgning.

44 44 int binarySearch(Comparable[] a, Comparable key) throws ItemNotFound { int low = 0, high = a.length - 1; while (low < high) { int mid = (low + high)/2; if (a[mid].compares(key) < 0) low = mid + 1; else high = mid; } if (a[low].compares(key) == 0) return mid; throw new ItemNotFound(); } Algoritmen bruger altid  log 2 N   +1 sammenligninger for en søgning. Alternativ implementation af binær søgning

45 45 Binær søgning blev første gang beskrevet i 1946. Den første fejlfri udgave blev publiceret i 1962. I 1986 fandt Bentley, at 90% af de professionelle programmører på hans kurser ikke kunne skrive en fejlfri udgave på to timer. Hvor svært kan det være?

46 46 Kompleksiteten af binær søgning Binær søgning bruger aldrig mere end  log 2 N  + 1 sammenligninger - for såvel succesfuld som mislykket søgning. Binær søgning kan beskrives ved et søgetræ: H D B A C E G I M P S FLR N X

47 47 Interpolationssøgning Indeksintervallet opdeles efter et gæt på nøglens placering. Ved lineær interpolation sammenholdes søgenøglen med nøglerne i de to interval- endepunkter. I binær søgning erstattes mid med next, og mid = (low + high)/2 med next = low + (key - a[low])*(high - low)/(a[high] - a[low]). a[high] a[low] key lownexthigh

48 48 Kompleksiteten af interpolationssøgning Interpolationssøgning bruger  log 2 log 2 N  + 1 sammenligninger for både succesfuld og mislykket søgning på “ tilfældige” tabeller. Færre end 5 forsøg i praksis (2 2 5 ≈ 4*10 10 ). Svagheder: (1) tabellerne er normalt ikke “tilfældige”, (2) beregningerne af next kan koste mere end de sparede sammenligninger.

49 49 Kompleksitetsvurdering 3 tilfælde: det bedste det værste det gennemsnitlige Eksempel - Quicksort: Bedste: O(n log n) Værste: O(n 2 ) Gennemsnitlige: O(n log n) (hvor n er antallet af elementer, der skal sorteres) Sædvanligvis er vi interesseret i det værste tilfælde, fordi: (1) vi ønsker en øvre grænse (en garanti), og (2) det er lettest at beregne.

50 50 O-notationens begrænsning O-notationen er kun brugbar for “store” værdier af n. For små værdier af n kan de ikke-dominerende led have en væsentlig betydning.

51 51 Hvor O(f(n)) kan benyttes til at angive en øvre grænse (≤) for vækst, kan Ω(f(n)) benyttes til at angive en nedre grænse (≥): g(n) = Ω(f(n)), hvis der findes konstanter, c og N 0, således at g(n) ≥ cf(n), når n ≥ N 0. g(n) =  (f(n)), hvis væksten for g er mindre end (<) væksten for f. g(n) =  (f(n)), hvis og kun hvis g(n) = O(f(n)) og g(n) ≠  (f(n)) g(n) =  f(n)), hvis væksten for g er den samme (=) som væksten for f. g(n) =  (f(n)), hvis og kun hvis g(n) = O(f(n)) og g(n) = Ω(f(n)) Ω,  og 

52 52 At ræsonnere om algoritmer Evnen til at drage logiske slutninger er nyttig ved algoritmedesign fejlfinding forbedringer verifikation (bevis for korrekthed)

53 53 En algoritme A siges at være partielt korrekt, når der gælder følgende: Hvis A terminerer for et givet legalt input, så vil dens output være korrekt. Verifikation Bevisførelse af partiel korrekthed foretages ved brug af påstande (assertions). En påstand er et logisk udsagn, der er knyttet til et givet punkt i algoritmen, og som er opfyldt, hver gang algoritmen når til dette punkt. En algoritme A siges at være korrekt (eller totalt korrekt), hvis A er partielt korrekt, og A terminerer for ethvert legalt input.

54 54 Påstande Før-betingelse (precondition) Et udsagn, som gælder før udførelsen af en eller flere sætninger. Efter-betingelse (postcondition) Et udsagn, som gælder efter udførelsen af en eller flere sætninger. Løkke-invariant (loop invariant) Et udsagn, som gælder umiddelbart før løkke-testen i en løkke.

55 55 { m ≤ n }før-betingelse sort(a, m, n); { a[m] ≤ a[m+1] ≤... ≤ a[n] }efter-betingelse Eksempler på påstande i = m; while { a[m] ≤ a[m+1] ≤... ≤ a[i-1] ^ a[m.. i-1] ≤ a[i.. n] } løkke-invariant (i < n) { min = i; for (j = i+1; j <= n; j++) if (a[j] < a[min]) min = j; x = a[i]; a[i] = a[min]; a[min] = x; i++; }

56 56 Regler for verifikation Tildeling: { P } { w > 2 } v = w; { P } { v > 2 } w Valg: {P} if (B) { P ^ B } S1;else { P ^ ¬ B } S2; w  v

57 57 Givet algoritmen q = 0; r = x; while (r >= y) { r = r - y; q = q + 1; } hvor x, y, q og r er heltal, x ≥ 0 og y > 0. Eksempel på verifikation (heltalsdivision) Bevis at algoritmen bestemmer kvotienten q og resten r ved heltalsdivision af x med y, dvs. r = x - q*y (0 ≤ r < y)

58 58 Bevisførelsen (1) Løkke-invarianten er opfyldt ved indgangen til løkken. (2) Hvis løkke-invarianten er opfyldt i en given iteration, så er den også opfyldt i den efterfølgende iteration. (3) Hvis algoritmen terminerer, så er dens efter-betingelse opfyldt. (4) Algoritmen terminerer. } induktion

59 59 { x ≥ 0, y > 0 } algoritmens før-betingelse q = 0; r = x; while { r = x - qy ^ r ≥ 0 } løkke-invariant (r >= y) { r = r - y; q = q + 1; } { r = x - qy ^ 0 ≤ r < y } algoritmens efter-betingelse { r = x - qy ^ r ≥ y }  { r - y = x - (q+1)y ^ r - y ≥ 0 } { r = x - (q+1)y ^ r ≥ 0 }

60 60 q = 0; r = x; while (r >= y) { r = r - y; q = q + 1; } Algoritmen terminerer. Terminering Bevis: Da y > 0, mindskes r ved hvert gennemløb af løkken. Løkketesten må derfor blive falsk efter et endeligt antal gennemløb.

61 61 Læs kapitel 6 lærebogen (side 143-172) Løs følgende opgaver 1-1. Opgave 5.5 1-2. Opgave 5.10 1-3. Opgave 5.13 1-4. Opgave 5.14a 1-5. Opgave 5.23 Ugeseddel 1 11. september - 18. september


Download ppt "1 Design, analyse og verifikation. 2 Design Bevisteknikker Design ved hjælp at matematisk induktion Analyse O-notation Logaritmer Binær søgning Verifikation."

Lignende præsentationer


Annoncer fra Google