Præsentation er lastning. Vent venligst

Præsentation er lastning. Vent venligst

Dynamiske modeller for aktiekurser mhp prisfastsættelse af optioner

Lignende præsentationer


Præsentationer af emnet: "Dynamiske modeller for aktiekurser mhp prisfastsættelse af optioner"— Præsentationens transcript:

1 Dynamiske modeller for aktiekurser mhp prisfastsættelse af optioner
Investments 2003

2 Motivation Vi skal ”lægge bunden”, dvs. opstille den referenceramme, som options-teoretikere arbejder i, og som vi skal arbejde med i stort set hele resten af kurset. Derfor vigtigt at være med fra start! Optionsteori kan være meget matematisk. Vi forsøger også at lægge meget vægt på det intuitive.

3 Oversigt Intuitionen bag Pricing by arbitrage Modeller for usikkerhed
Binomial-modellen. Eksempler og generelle resultater Overgangen til modellering i kontinuert tid Pricing by arbitrage i kontinuert tid Black-Scholes modellen Generelle principper Monte Carlo simulation, vol. estimation. Øvelser undervejs

4 Her er hvad det handler om!
Optioner er betingede fordringer med fremtidige betalinger, som er betinget af økonomiens udvikling (i modsætning til feks. fixed income securities). Værdi(0)=? ? T Værdi(T)=[ST-X]+

5 Behovet for modelbygning
Payoff’et på udløbstidspunktet er en velspecificeret funktion af de underliggende variable. Problemet er at få relateret fremtidsværdien til en nutidsværdi. Det er enkelt for fixed income, men mere komplekst for derivatives. Der skal specificeres en model for usikker-heden. Derefter er det pricing by arbitrage hele vejen til målet.

6 Pricing by arbitrage - PCP
Transaktion Tid 0 pris Tid T flow ST>X ST<X Købt aktie -S0 ST Købt put(X) -P X-ST Lån(X) PV(X) -X Sum PV(X)-P-S0 ST-X Købt call(X) -C Ergo: C = P + S0 – PV(X) ellers er der arbitrage!

7 Pricing by arbitrage Så hvis vi kender prisen på
underliggende aktiv renten put optionen kan vi udtale os om den arbitragefri pris på den tilsvarende call. Kender vi ikke put prisen, er det nødvendigt med lidt mere struktur......

8 Den simplest mulige model for usikkerhed - binomialmodellen
Eksempel: Aktiekursen er idag $20 Om tre måneder er den enten $22 eller $18 (+-10%) Aktiekurs = $22 Aktiekurs = $20 Aktiekurs = $18

9 En call option Betragt 3-måneders call option på aktien og med exercisekurs 21. Aktiekurs = $22 Optionspayoff = $1 Aktiekurs = $20 Optionspris=? Aktiekurs = $18 Optionspayoff = $0

10 Konstruktion af risikofri portefølje
Betragt porteføljen: lang (købt) D aktier kort (udstedt) 1 call option Porteføljen er risikofri når 22D – 1 = 18D dvs. D = 0.25. 22D – 1 18D

11 Værdifastsættelse af porteføljen
Antag renten er 12% p.a. (kontinuert) Den risikofrie portefølje var: lang 0.25 aktier kort 1 call option Værdien af porteføljen om 3 måneder er 22´0.25 – 1 = 4.50. Værdien af porteføljen idag er så e – 0.12´0.25 =

12 Værdifastsættelse af optionen
Porteføljen der var lang 0.25 aktier kort 1 option var værd. Værdien af aktierne er (= 0.25´20 ). Værdien af optionen må derfor være (= – ), ...ellers er der arbitragemuligheder.

13 Generalisering S0u ƒu S0 ƒ S0d ƒd
En betinget fordring udløber på tid T og payoff afhænger af aktiekursen S0u ƒu S0d ƒd S0 ƒ

14 Generalisering Betragt porteføljen som er lang D aktier og kort 1 fordring Porteføljen er risikofri når S0uD – ƒu = S0d D – ƒd eller Bemærk:  er hedgeraten, i.e. hvor mange aktier der skal til at hedge optionen. S0 uD – ƒu S0– f S0dD – ƒd

15 Generalisering Værdien af porteføljen på tid T er S0u D – ƒu. Sikkert!
Værdien af porteføljen idag er (S0u D – ƒu )e–rT men værdien idag er også S0D – f Derfor gælder ƒ = S0D – (S0u D – ƒu )e–rT

16 Generalisering Indsættes udtrykket for D får vi hvor
ƒ = [ q ƒu + (1 – q )ƒd ]e–rT hvor

17 Risiko-neutral prisfastsættelse
ƒ = [ q ƒu + (1 – q )ƒd ]e-rT = e-rT EQ{fT} Variablene q og (1 – q ) kan fortolkes som risikoneutrale sandsynligheder for op- og ned-spring. Værdien af den betingede fordring er det forventede payoff mht til q-sandsynlighederne (Q-mål) diskon-teret tilbage med den risikofrie rente. S0u ƒu S0d ƒd S0 ƒ q (1 – q )

18 Tilbage til eksemplet S0u = 22 ƒu = 1 q S0 ƒ S0d = 18
Vi kan udlede q ved at prisfastsætte aktien: 20e0.12 ´0.25 = 22q + 18(1 – q ); q = Det stemmer med vores formel q S0 ƒ S0d = 18 ƒd = 0 (1 – q )

19 Værdifastsættelse af optionen
S0u = 22 ƒu = 1 S0d = 18 ƒd = 0 S0 ƒ 0.6523 0.3477 Værdien af optionen er e–0.12´0.25 [0.6523´ ´0] =

20 To-periode eksempel 24.2 22 20 19.8 Hvert skridt er 3 måneder, dt=0.25
18 24.2 19.8 16.2

21 Værdifastsættelse af call, X=21
Værdi i knude B = e–0.12´0.25(0.6523´ ´0) = Værdi i knude A = e–0.12´0.25(0.6523´ ´0) = 24.2 3.2 22 B 20 1.2823 19.8 0.0 2.0257 A 18 C 0.0 16.2 0.0 f = e-2rt[q2fuu + 2q(1-q)fud + (1-q)2fdd] = e-2rt EQ{fT}

22 Put option; X=52 u=1.2, d=0.8, r=0.05, dt=1, q=0.6282 72 60 48 50
4.1923 60 40 72 48 4 32 20 1.4147 9.4636

23 Amerikansk put option – early exercise
50 5.0894 60 40 72 48 4 32 20 1.4147 12.0 A B C Knude C: max(52-40, exp(-0.05)*(q*4+(1-q)*20)) 9.4636

24 Delta Delta (D) er som tidligere nævnt hedgeraten, ændringen i optionsværdien sat i forhold til ændringer i prisen på den underliggende aktie. Værdien af D ænder sig fra knude til knude i gitteret. Det er en god øvelse at prøve at finde den selvfinansierende hedgeportefølje i fler-periode gitter!

25 Hvordan vælges u og d? Det kan gøres på forskellige måder. Følgende er den mest simple og almindelige hvor s er p.a. volatiliteten og dt er længden af tidsskridtene målt i år. Bemærk u=1/d. Dette er Cox, Ross, and Rubinstein’s approach.

26 Alternativ fastsættelse af u og d
Honoré & Poulsen anvender hvor a+1/2s2 er forventet afkast.

27 Få skridt, få udfald. Grov model

28 Mange skridt, mange udfald. ”Fin” model

29 Call, S=100, s=0.15, r=0.05, T=0.5, X=105

30

31 Øvelse Check optionsprisen nederst side 8 i Honoré & Poulsen og beregn yderligere et par stykker. Prøv at reproducér grafen side 10 i Honoré & Poulsen. Lav en graf over sammenhængen ml. callpris og aktiekurs for ex. N=500. Lav en graf over sammenhængen ml. callpris og volatiliet for ex. N=500. Vis, at a er uden betydning i grænsen N.

32 Alternative modeltyper
Diskret tid; diskret variabel (binomial) Diskret tid; kontinuert variabel Kontinuert tid; diskret variabel Kontinuert tid; kontinuert variabel Alle kan bruges, men vi vil nu arbejde os henimod den sidste type, som ofte besidder de pæneste analytiske egenskaber.

33 Wiener Processen – den fundamentale byggesten
Betragt en variabel z, som antager kontinuerte værdier. Ændringen i z er z over det lille tidsinterval t. z er en Wiener proces, hvis 1. 2. Værdien af z for to ikke-overlappende perioder er uafhængige.

34 Wiener processens egenskaber
Middelværdien af [z (T ) – z (0)] er 0. Variansen af [z (T ) – z (0)] er T. Standardafvigelsen for [z (T ) – z (0)] er En rigtig kontinuert tids model opnås ved at lade t gå mod nul. Når vi skriver dz og dt skal det forstås sådan, at det tilsvarende udtryk med t og z holder i grænsen, når t går mod nul.

35 Den generaliserede Wiener- proces
I standard Wiener-processen er driften (den forventede ændring pr. tidsenhed) nul, og variansraten er 1. I den generaliserede Wienerproces kan drift og diffusion specificeres som arbitrære konstanter, i.e. dx=adt+bdz. Det giver selvfølgelig en mere generel model - dog ikke specielt velegnet til at modellere en aktiekurs udvikling.

36 Ito Processer I en Ito proces er driften og variansraten generelle funktioner dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz. Bemærk: Det vi mener, er egentlig hvor vi lader dt gå mod nul. Vi kommer til at se processer af denne type igen! (Renter, temperatur mm.)

37 En god model for aktiekurser
hvor m er det forventede afkast og s er volatiliteten. Dette er den Geometriske Brownske bevægelse (GBM). Parallellen i diskret tid:

38 Lognormalfordelingen
En konsekvens af GBM specifikationen er Logaritmen til ST er normalfordelt, dvs. ST er lognormal fordelt.

39 Lognormal-tæthed

40 Monte Carlo Simulation
Modellen illustreres let ved at sample en række værdier af e og indsætte…… Antag f.eks., at m= 0.14, s= 0.20, og dt = 0.01, så

41 Monte Carlo Simulation – Én sti

42 Grafisk resultat:

43 Vejen videre frem: Ito’s Lemma
Vi skal kunne ”regne” i modellen. Derivater er funktioner af eksempelvis en aktiekurs, så vi skal kunne regne på funktioner af S. Redskabet er Ito’s lemma. Mere generelt: Hvis vi kender den stokastiske proces for x, så giver Ito’s lemma den stokastiske proces som beskriver G(t, x).

44 Ito’s lemma ultra-kort
Lad G(t,x) og dx=a(x,t)dt + b(x,t)dz

45 Ito’s lemma Indsættes udtrykket for dx får vi: DETTE ER ITO’S LEMMA!
Optionsprisen/prisen på det afledte aktiv er altså også en diffusionsproces!

46 Anvendelse af Ito’s lemma på funktion af GBM

47 Eksempler

48 Black-Scholes modellen
Der betragtes en aktiekurs, som følger en GBM, dvs dS = Sdt + Sdz. For nemheds skyld ingen udbytter. Slutmålet er at bestemme prisen på optioner, når aktiekursen følger ovenstående proces.

49 Ideen bag Black-Scholes udledningen
Optionen og aktien er påvirket af samme usikkerhedsfaktor. Ved at danne en smart portefølje af optionen og aktien kan vi eliminere denne usikkerhed. Dermed er porteføljen risikofri og dens afkast må følgelig være lig den risikofri rente. Dette leder til Black-Scholes differential ligningen, som vi så finder en løsning til. Lad os gøre det!

50 Udledning af Black-Scholes ligningen

51 Udledning af Black-Scholes differential ligningen
Usikkerheden på disse led ophæver hinanden, jf. forrige slide.

52 Udledning af Black-Scholes differential ligningen

53 Differential ligningen
Ethvert aktiv hvis værdi afhænger af aktiens pris opfylder Black-Scholes differentialligningen. Der er således mange løsninger. For at finde prisfunktionalet for en bestemt fordring skal grænsebetingelser pålægges. Ex: for en forward kontrakt er grænsebetingelsen ƒ = S – K når t =T Løsningen til pde’en er så ƒ = S – K e–r (T – t ) Gør evt prøve!!

54 Risiko-neutral prisfastsættelse
Variablen m optræder ikke i Black-Scholes ligningen! Ligningen indeholder ingen parametre som afhænger af investorers risiko-præferencer. Løsningen til ligningen er derfor den samme i ”den virkelige verden” som i en verden, hvor alle er risikoneutrale. Denne observation leder til princippet om risikoneutral prisfastsættelse.

55 Risiko-neutral prisfastsættelse i praksis
Antag at det forventede aktieafkast er lig den risikofri rente, ie. brug m=r i GBM’en Beregn det forventede risikoneutrale payoff for optionen. Diskontér tilbage med den risikofri rente, i.e.

56 Black-Scholes formler

57 Monte Carlo idéen Generelt prisudtryk: Eksempelvis:
Disse er udgangspunktet for Monte Carlo simulation. Forventningen approksimeres:

58 Markedsprisen på risiko
Den fundamentale pde. holder for alle afledte aktiver skrevet på en GBM-aktie. Hvis det underliggende ”aktiv” ikke er handlet (ex. en ”rente”, temperatur, snedybde, Richter-tal el lign.) kan vi udlede en tilsvarende pde, men så kommer der et led for markedsprisen for risiko på denne faktor. Eksempelvis vises vha. Ito, at afledte aktiver følger hvor

59 Markedsprisen på risiko
Markedsprisen på risiko kan vi ikke bestemme udfra arbitrageargumenter alene. Den må fx. estimeres udfra markedsdata. Skal vi simulere den risikoneutraliserede underliggende variabel skal driften justeres med et led der indeholder markedsprisen på risiko.

60 Eksempel på ikke prisfastsat underliggende aktiv

61 Historisk volatilitet
Observér S0, S1, , Sn med intervaller på t år Beregn kontinuerte afkast i hvert interval: Beregn standardafvigelsen, s , af ui´erne. Det historiske pro anno vol-estimat er:

62 Implicit volatilitet Den implicitte volatilitet er den volatilitet som indsat i BS-formel skaber overens-stemmelse mellem model- og markedspris. Man siger at man inverterer formlen – man regner baglæns. Det gøres numerisk. I markedet kvoteres ofte volatilitet i.s.f. pris.

63 Øvelsesforslag/hjemmearbejde!
Simulér en GBM og vis resultatet grafisk i et regneark. Sammenlign Black-Scholes prisen med prisen for optioner fundet vha. binomial-approksimation. Hvor stor skal N være før resultatet er ”godt”? Prøv at estimere volatiliteten på en serie aktiekurser, som du har simuleret dig frem til (så du kender den sande volatilitet). Prøv at finde implicitte volatiliter for et par optioner, hvor du har ”observeret” prisen. Prøv at simulér dig frem til en call pris og sammenlign resultatet med det du får fra BS-formlen.


Download ppt "Dynamiske modeller for aktiekurser mhp prisfastsættelse af optioner"

Lignende præsentationer


Annoncer fra Google