Et eller andet datalogi…

Præsentationer af emnet: "Et eller andet datalogi…"— Præsentationens transcript:

1 Et eller andet datalogi…
Voronoi Diagrammer Gerth Stølting Brodal / Kasper Green Larsen Institut for Datalogi Aarhus Universitet Tak til tutorerne for at invitere mig til at holde foredraget Datalogi, Studiestart 2014

2 Kasper Gerth Ph.d. Datalogi, Aarhus Universitet (2005-2013)
Ansat ved Institut for Datalogi (2014-) Forskning og undervisning: Algoritmik GymnasiumViborg PhD AU AU 01 04 05 08 11 13 14 Gerth Ph.d. Datalogi, Aarhus Universitet ( ) Ansat ved Institut for Datalogi (1998-) Forskning og undervisning: Algoritmik Instruktor, Studenterprogrammør (Kasper) Gymnasium Aabenraa AU PhD PostDoc AU 83 85 88 89 93 95 96 97 98

3 Algoritmik på Datalogi
dPersp dIntProg Calculus 1 ComputerArkitektur dProg2 Calculus 2 dADS1 dWebTec dIntDesign dADS2 dProgSprog dRegAut 2. år dDB dBerLog Pervasive Int. Mat. Modellering SoftwareArkitektur dConc Mat. Modellering 1 Videnskabsteori dDistSys dSik 3. år dOvs Optimering dEkspSys Kombinatorisk Søgning 4. år Computational Geometry Topics in Discrete Geometry Alg. Engineering Strengalgoritmer Randomiserede Alg. 5. år Avancerede Datastrukturer I/O Algoritmer Machine Learning Speciale Andre algoritmikkurser Algoritmer i bioinformatik Dynamiske algoritmer Spilteori Kompleksitetsteori … Denne forelæsning Ph.d.

4 Punkter og Linier Undgå kvadratrødder
irrational p1 Dist( 𝑝 1 , 𝑝 2 )= 𝑥 1 − 𝑥 𝑦 1 − 𝑦 2 2 Dist( 𝑝 3 , 𝑝 1 )<Dist( 𝑝 3 , 𝑝 2 ) ? ⇕ 2^32 = Kunne regne med ”algebraiske tal” på eksakte koefficienter, hvis man vil forsøge at håndtere \sqrt Dist(p1,p2)= , Sqrt(72) = Dist(p3,p1) < Dist(p3,p2) = sqrt(65) p2 overløb ≤ 2 𝑥 3 − 𝑥 𝑦 3 − 𝑦 < 𝑥 3 − 𝑥 𝑦 3 − 𝑦 2 2 Undgå kvadratrødder Vurder størrelsen af mellemresultater koordinater = heltal

5 Punkter og Linier p3 tættest på p2
q2 = q1 + p1 -p2 = (a2,b2) p3 tættest på p2 ⇕ P3 p3 til venstre for linien gennem q1 og q2 p1 ⇕ (a1-x3)(b2-y3) - (b1-y3)(a2-x3) > 0 q1 = (p1 +p2)/2 = (a1,b1) Ikke heltal “midtnormal” 2^32 = Kunne regne med ”algebraiske tal” på eksakte koefficienter, hvis man vil forsøge at håndtere \sqrt Dist(p1,p2)= , Sqrt(72) = Dist(p3,p1) < Dist(p3,p2) = sqrt(65) Gang alle koordinater med 2 for at ungå 1/2 p2 koordinater = heltal

6 Punkter og Linier Linieskæringer har rationale koordinater
Regn med brøkker Ikke heltal (x,y) p4 p2 (x1y2 - y1x2)(x3 - x4) - (x1 - x2)(x3y4 - y3x4) x = 2^32 = Kunne regne med ”algebraiske tal” på eksakte koefficienter, hvis man vil forsøge at håndtere \sqrt Dist(p1,p2)= , Sqrt(72) = Dist(p3,p1) < Dist(p3,p2) = sqrt(65) (x1 - x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3 - x4) (x1y2 - y1x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3y4 - y3x4) y = (x1 - x2)(y3 - y4) - (y1 - y2)(x3 - x4) koordinater = heltal

7 Voronoi Celle l3 l5 l1 l4 l2 p4 p5 p3 p6 p2 p1
Voronoi Celle = Konveks polygon p2 p1

8 Voronoi Diagram Konvekse hylster Voronoi diagram anvendelse : Hvilken radiomast er tættest på ? Voronoi diagram : potentielt n2 kanter (del af bisektorer), men kan vise at der er kun er ≤2n Voronoi knuder  centrum for cirkel med tre randpunkter Største tomme cirkel har centrum i en Voronoi knude ”Uendelige” Voronoi kanter  kanter på det konvekse hylster

9 Biologisk hypotese: Mønsteret på en giraf er et Voronoi diagram, dvs
Biologisk hypotese: Mønsteret på en giraf er et Voronoi diagram, dvs. der findes en mængde punkter

10 Dirichlet 1850, Voronoi 1908, Boldyrev 1909, …
Descartes 1644 Defineret/opfundet mange gange i litteraturen Dirichlet 1850, Voronoi 1908, Boldyrev 1909, …

11 Web-side der visualiser dynamiske ændringer i Voronoi diagrammet
alexbeutel.com/webgl/voronoi.html alexbeutel.com/webgl/voronoi.html

12 Triangulering af Terrain Data
TIN = Triangulated Irregular Network

13 Hvilken Triangulering ?
p2 p5 spidse vinkler p6 p8 p7 p4 P9 p1 p3

14 Delauney Triangulering
Voronoi diagram Delauney triangulering Dual Antager general position = trekanter Flader i Delauney trianguleringen = knuder i Voronoi diagrammet Delauney trianguleringer maximerer mindste vinkel

15 Inkrementel Konstruktion af Delauney Triangulering / Voronoi Diagram
Antag vi har konstrueret Delauney triangulering for 28 punkter, og indsætter punkt nummer 29 Indsættelse af det 29. punkt

16 Inkrementel Konstruktion af Delauney Triangulering / Voronoi Diagram
p Indsæt punkterne i tilfældig rækkefølge: Find trekanten indeholdene næste punkt p Lav kanter til trekantens hjørner ”Flip” kanter i ulovlige trekanter

17 Euler’s Sætning for Plane Grafer
Voronoi diagrammer og Delauney trianguleringer indeholder ≤ 3n segmenter knude kant flade Bevis for Euler: Induktion. Start med en knude; hver yderligere kant tilføjer enten en flade eller en knude. V≥3 => E≤3V-6 : * Hver flade mindst 3 tilstødende (halv)kanter; * 2E=#halv-kanter≥3F F≤2/3*E V+2/3*E-E ≥ 2 V≥2+E/3 E≤3V-6 # knuder + # flader - # kanter = 2 = 2 (gælder for sammenhængende grafer der kan tegnes uden krydsende kanter)

18 Inkrementel Konstruktion af Delauney Triangulering / Voronoi Diagram
p Forventet ≤ 6 ”flips” per indsættelse ⟹ totalt forventet ≤ 6n ”flips”

19 Voronoi Diagram af Linier
Diagrammet består af liniestykker og parabolske kurver

20 2. ordens Voronoi Diagram
B AB A

21 3. ordens Voronoi Diagram
ABC C B

22 Længst Væk Voronoi Diagram
Konvekse hylster Konveks hylster => stråler på modsat side Størrelse O(n) A

23 Manhattan Bar B You are here Bar A Bar C

24 Afstandsmål Euklidisk afstand = L2 afstand
P1 Euklidisk afstand = L2 afstand 𝑝 1 − 𝑝 = 𝑥 1 − 𝑥 𝑦 1 − 𝑦 2 2 Manhattan afstand = L1 afstand P2 𝑝 1 − 𝑝 = 𝑥 1 − 𝑥 𝑦 1 − 𝑦 2 L2 Voronoi Diagram L1 Voronoi Diagram

25 3D Voronoi Diagram Plads O(n^2)

26 Voronoi Art

27 Opsummering Algoritmik – et datalogisk forskningsområde
Voronoi diagrammer = eksempel inden for delområdet ”computational geometry” Matematiske begreber og bevisførelser essentielle for at kunne arbejde med algoritmik

28

29 Punkt Lokalisering (Trapez Dekomposition og Kort)

30 Gerth Ph.d. Datalogi, Aarhus Universitet (1989-1997)
Ansat ved Institut for Datalogi (1998-) Forskning og undervisning: Algoritmik Gymnasium Aabenraa AU PhD PostDoc AU 83 85 88 89 93 95 96 97 98

31 Voronoi Diagram Konvekse hylster Voronoi diagram anvendelse : Hvilken radiomast er tættest på ? Voronoi diagram : potentielt n2 kanter (del af bisektorer), men kan vise at der er kun er ≤2n Voronoi knuder  centrum for cirkel med tre randpunkter Største tomme cirkel har centrum i en Voronoi knude ”Uendelige” Voronoi kanter  kanter på det konvekse hylster

32 Computer Grafik : Voronoi Splinter
3:00”