Mængder: Begreber og notation

Præsentationer af emnet: "Mængder: Begreber og notation"— Præsentationens transcript:

1 Mængder: Begreber og notation
Definition En mængde er en afgrænset samling af elementer. Eksempel A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3  A (“3 er et element i A” – “3 tilhører A”) 0  A (“0 er ikke et element i A” – “0 tilhører ikke A”) Ø er den tomme mængde: Ø = { } FEN Mængder og multimængder

2 Mængder: Begreber og notation
Eksempel A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } Eller A = { x | x er et heltal mellem 1 og 9 } A = { x | x er et heltal og 1  x  9 } “Mængden af x hvorom det gælder” FEN Mængder og multimængder

3 Mængder: Begreber og notation
“Mængden af ulige tal?” Eksempel B = { 3, 5, 7,… } Eller B = { x | x er et ulige tal større end 1 } B = { x | x er et ulige tal og x > 1 } “eller mængden af primtal?” FEN Mængder og multimængder

4 Mængder og multimængder
Delmængder A = B hvis x  A  x  B A  B hvis x  A  x  B (A er en delmængde af B) A  B hvis A  B og A  B (A er en ægte delmængde af B) FEN Mængder og multimængder

5 Mængder og multimængder
Talmængder N = de naturlige tal = {1,2,3,4,5,...} N0 = {0,1,2,3,4,....} Z = de hele tal = { ...-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Q = de rationale tal = { q | q = n/m og n og m er heltal } (“brøker”) R = de reelle tal [ 3..8 ] = { 3,4,5,6,7,8 } Der gælder : [ 3..8 ]  N  N0  Z  Q  R FEN Mængder og multimængder

6 Mængder og multimængder
Grundmænge (univers) U er en grundmængde (Univers), som indeholder alle relevante elementer. U fremgår ofte af sammenhængen, ellers må den anføres: A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } = {x  N | x < 10 } C = {x  B | x  11 } (hvor B = { 3, 5, 7,… }) FEN Mængder og multimængder

7 Mængder og multimængder
Mængdeoperationer I Lad U være en eller anden grundmængde: Fællesmængde: A  B = { x  U | x  A  x  B } (hvis A  B = Ø, så siges A og B at være disjunkte) Foreningsmængde: A  B = { x  U | x  A  x  B } FEN Mængder og multimængder

8 Mængder og multimængder
Mængdeoperationer II Differensmængde: A - B = { x  U | x  A  x  B } (Skrives også som A \ B ) Komplementærmængde: A = { x  U | x  A } = U - A (Der findes andre skrivemåder: Fx: A, eller hos Martin: A’ ) FEN Mængder og multimængder

9 Mængdeoperationer – Venn-diagrammer
Find fejlen! FEN Mængder og multimængder

10 Mængder og multimængder
Mængdeoperationer IV U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = [0..9] A = {2,4,6,7,8} B = {1,2,3,4,9} A  B = { 2,4 } A  B = { 1,2,3,4,6,7,8,9 } A - B = { 6,7,8 } B - A = { 1,3,9 } A = A’ = { 0,1,3,5,9 } B = B’ = { 0,5,6,7,8 } FEN Mængder og multimængder

11 Regneregler for mængdeoperationer
Kommutative love: A  B = B  A A  B = B  A Associative love: A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Distributive love: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) FEN Mængder og multimængder

12 Regneregler for mængdeoperationer
Idempotente love: A  A = A A  A = A Absorbative love: A  (A  B) = A A  (A  B) = A De Morgan’s love: (A  B)’ = A’  B’ (A  B)’ = A’  B’ (kendes muligvis fra Boolsk algebra) FEN Mængder og multimængder

13 Regneregler for mængdeoperationer
Andre formler vedr. komplementærmængde: (A’)’ = A A  A’ = Ø A  A’ = U Andre formler vedr. den tomme mængde: A  Ø = Ø A  Ø = A Andre formler vedr. grundmængden (universet): A  U = A A  U = U FEN Mængder og multimængder

14 Symmetrisk mængdedifferens
Den symmetriske mængdedifferens (AB) defineres ved: A  B = (A – B)  (B – A) A B A-B B-A FEN Mængder og multimængder

15 Mængder og multimængder
Mængdeoperationer VI Formlerne kan generaliseres Fællesmængde: A  B  C = { x  U | x  A  x  B  x  C } Foreningsmængde: A  B  C = { x  U | x  A  x  B  x  C } FEN Mængder og multimængder

16 Mængder og multimængder
Mængdeoperationer VI Formlerne kan generaliseres endnu mere Fællesmængde: n ∩ Ai = { x  U | x  Ai for alle i mellem 1 og n} i=1 Foreningsmængde:  Ai = { x  U | x  Ai for mindst eet i mellem 1 og n} Tænk for-loop FEN Mængder og multimængder

17 Mængder og multimængder
Mængdeproduktet A  B = {(a, b) | a  A  b  B } R  R kan opfattes som planen. R  R  R kan opfattes som rummet. Anvendes f.eks. indenfor teorien for relationsdatabaser. FEN Mængder og multimængder

18 Mængder og multimængder
Potensmængder P(A) er mængden af alle delmængder af A. Martin’s notation: 2A, fordi antal elementer i 2A = 2n, hvis A har n elementer. Et eksempel: P({1,2,3}) ={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Hvorfor? FEN Mængder og multimængder

19 Multimængder eller Bags
En multimængde er en mængde, som kan indeholde det samme element flere gange. Det, som interesserer os, er hvor mange gange et element findes i multimængden. Der findes forskellige præcise definitioner af multimængder, fx: FEN Mængder og multimængder

20 Mængder og multimængder
”Sække” Definition: En sæk S over A er en afbildning fra A til N. Lad S, S1, S2 være sække over A. For a  A skriver vi a  S såfremt S(a) > 0. Vi skriver S1  S2 hvis S1(a) ≤ S2(a) for alle a  A . Vi definerer S1  S2 ved (S1  S2 )(a) = S1(a) + S2(a) for alle a  A. Vi definerer S1 ∩ S2 ved (S1 ∩ S2 )(a) = min{S1(a); S2(a)} for alle a  A . Vi definerer Ø, den tomme multimængde over A, ved Ø(a) = 0 for alle a  A. FEN Mængder og multimængder

21 Mængder og multimængder
Øvelser Navngiv 8 forskellige regioner vha. mængdeoperationerne. A B C FEN Mængder og multimængder

22 Mængder og multimængder
Øvelser - fortsat Vis nogle af regnereglerne for mængdeoperationer på slide vha. Venn-diagrammer. Brug Venn-diagrammer eller regneregler til at forsimple følgende udtryk (A og B er mængder): A - (A - B) A - (A  B) (A  B) – A (A’  B’)’ (A’  B’)’ MNR 1.1 FEN Mængder og multimængder