Økonometri 1: F61 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006.

Præsentationer af emnet: "Økonometri 1: F61 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006."— Præsentationens transcript:

1 Økonometri 1: F61 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006

2 Økonometri 1: F6 2 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: ” …hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan drage konklusioner på grundlag af data, […] blandt andet punktestimation og intervalestimation af parametre samt metoder til afprøvning af statistiske hypoteser.” (TSØ p. 238) Simulationseksperimenter (Note på hjemmesiden)  Ideen med at lave simulationseksperimenter  Opbygning af en simulationsalgoritme  Eksempel: Den forventede startløn for en økonom  Eksempel (ugeseddel 3): Alternativ middelret estimator Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4):  Normalitetsantagelse (MLR.6).  Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel. Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5). Test af flere lineære restriktioner (kap. 4.5 og 5.2).

3 Økonometri 1: F6 3 Hvorfor simulationseksperimenter? Simulationseksperimenter kaldes også ”Monte Carlo” eksperimenter. De introduceres i Økonometri 1 for at illustrere vigtige statistiske begreber: Middelret estimation, varians, efficiens,… Simulationseksperimenter er (stort set) ikke dækket af Wooldridge (men se Table C.1, p.771), så derfor benyttes en note (se hjemmesiden). I noten analyserer vi fordelingen af OLS estimatoren og sammenligner med fordelingen af en alternativ estimator Simulationseksperimenter vil også optræde i øvelserne (ugeseddel 4, 5, 7, 12). Kommer igen i Økonometri 2.

4 Økonometri 1: F6 4 Monte Carlo eksperiment: Ideen Simulationer af ”datasæt” fra en fuldt specificeret model: Datagenererende proces (DGP) Eksempel: Vi kender de "sande parametre" og. Genererer et sæt af fx n=100 observationer fra modellen: ”Glemmer” at vi kender og : Anvend estimator (”regneregel”) til at skønne over ud fra et konkret (men kunstigt) sæt af observationer: Fx gennemsnittet:

5 Økonometri 1: F6 5 Monte Carlo eksperimenter: Ideen (fortsat) Kan vi på en nem måde vurdere, om er en ”rimelig” estimator for ? Lav en uafhængig trækning af et nyt datasæt, der er genereret af den samme DGP. Lav mange uafhængige trækninger (”replikationer”): Beregn værdien af estimatoren for hvert datasæt: Se på fordelingen af estimaterne over replikationerne: Beregn fx fordelingens gennemsnit og varians. Parallel til ”tankeeksperimentet”: Vores konkrete faktiske datasæt er blot ét blandt mange potentielle udfald.

6 Økonometri 1: F6 6 Monte Carlo eksperimenter: Ideen (fortsat) Formål med Monte Carlo eksperimenter:  Efterprøve analytiske resultater: Fx at OLS er middelret under MLR.1-4.  Analysere konsekvenserne, hvis antagelserne ikke holder.  Sammenligne forskellige estimatorer eller test, hvor det er besværligt/umuligt analytisk.  Vurdere hvor mange observationer der skal til, for at man kan bruge asymptotiske resultater i praksis (kap. 5).

7 Økonometri 1: F6 7 Monte Carlo eksperimenter: Eksempel DJØFs hjemmeside www.djoef.dk: ”Vejledende startløn” for en privatansat, nyuddannet økonom er kr. 29.500 om måneden (pr. februar 2005).www.djoef.dk Antag:  Startlønninger er uafhængige og normalfordelte.  Sand middelværdi i lønfordelingen er kr. 29.500.  Sand lønfordeling har standardafvigelse på kr. 1.500. Hermed er lønfordelingen fuldt specificeret. Simulere en situation, hvor der indhentes en tilfældig stikprøve af n=100 startlønninger.

8 Økonometri 1: F6 8 Monte Carlo eksperimenter: I praksis Proc IML; antalobs = 100; mu = j(antalobs,1,29.5); seedvct = j(antalobs,1,1) ; seedvct = 117*seedvct ; e = normal(seedvct) ; y = mu + 1.5 * e ; quit;

9 Økonometri 1: F6 9 Monte Carlo eksperimenter: I praksis (fortsat) m1est=sum(y)/antalobs; * estimatet m1 (gennemsnittet); m2est=1/2*(min(y)+max(y)); * estimatet m2 (gns. min og max);

10 Økonometri 1: F6 10 Monte Carlo eksperimenter: I praksis (fortsat) Trin 3: Gentag trin 1 og 2: M=10.000 replikationer: antalrep = 10000; * antal replikationer i simulationen; m1 = j(antalrep,1,.); * vektorer til at gemme estimaterne i; m2 = j(antalrep,1,.); do j=1 to antalrep; * løkke over simulationer; … * her beregnes estimater for hvert datasæt> * estimaterne gemmes for hver replikation ; m1[j,1]=m1est ; * m1 ; m2[j,1]=m2est ; * m2 ; … end ; Trin 4: Analysér fordelingerne af de to sæt estimater: Histogram Gennemsnit, varians, højere momenter

11 Økonometri 1: F6 11 Monte Carlo eksperimenter: Eksempel Brug algoritmen til at analysere og som estimatorer for middelværdien i fordelingen af startlønninger. Simulere telefoninterviews med tilfældigt udvalgte, nyuddannede økonomer, som oplyser (?) deres startløn. SAS-programmet MC.sas udfører M=10.000 replikationer. Se på n=100, n=50 og n=10. Link til SAS ”Hjemmeopgave”: Brug SAS-programmet MC.sas til at køre et simulationseksperiment, hvor du har n=100, men sætter antallet af replikationer til M=5.000. Sammenlign og fortolk dine resultater.

12 Økonometri 1: F6 12 Monte Carlo eksperimenter: Eksempel (fortsat) Middelværdi og varians af de to estimatorer baseret på M=10.000 simulationer har lavest varians Varians aftager med n n=100 Middelværdi29,49929,502 Varians0,02230,2089 n=50 Middelværdi29,499 Varians0,04430,2445 n=10 Middelværdi29,49829,489 Varians0,22090,4116

13 Økonometri 1: F6 13 Eksempel: En alternativ middelret estimator i en simpel lineær regressionsmodel Model: Alternativ estimator: Gennemsnit for de observationer, der svarer til de mindste og største værdier af Ugeseddel 3: Vis at er middelret. Ugeseddel 5: Sammenlign med i et simulationseksperiment

14 Økonometri 1: F6 14 Monte Carlo eksperimenter: Afrunding Husk:  Resultater og konklusioner fra Monte Carlo eksperimenter afhænger potentielt af de valgte parametre og fordelinger.  I praktiske anvendelser må man i hvert enkelt tilfælde godtgøre, at den valgte model har relevans for den problemstilling, man ønsker at belyse.

15 Økonometri 1: F6 15 Hypotesetest i den lineære regressionsmodel: Endelige stikprøver (kap. 4) For hypotesetest behøver vi fordelingen af. Introducere yderligere antagelse: Normalitet. MLR.6: u er uafhængig af og normalfordelt med middelværdi nul og varians. MLR.1-6 definerer den klassiske lineære model (CLM). Restriktiv antagelse:  Argument for: u opsamler alle de mange effekter der er udeladt af modellen: Central grænseværdisætning køres i stilling.  Argumenter imod i konkrete problemstillinger: Begrænsede variabler (positive!), andre typer af fordelinger (log-normal, diskrete).

16 Økonometri 1: F6 16 Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve Linearitet af i u og CLM giver følgende resultat: Theorem 4.1: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at hvor Heraf følger:

17 Økonometri 1: F6 17 Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve (fortsat) Theorem 4.1 indeholder den ukendte parameter, derfor ikke umiddelbart operationel. Erstattes af kan man vise at der gælder følgende resultat: Theorem 4.2: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at hvor k+1 er antal regressorer i modellen inkl. konstantled. t-fordelingen går mod N(0,1) når antallet af frihedsgrader vokser (fin approximation hvis større end 120).

18 Økonometri 1: F6 18 Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient Betragt en nulhypotese om en regressionskoefficient:, hvor a er en konstant. Under nulhypotesen påstår vi altså en bestemt værdi af en parameter i den sande model. Analogt til at specificere en parameter i DGP’en for et Monte Carlo eksperiment. Tænk på nulhypotesen som DGP’en for et tankeeksperiment: Givet denne værdi af kender vi fordelingen af. Bruge afvigelsen mellem estimatet, og den postulerede værdi, a, til at vurdere gyldigheden af nulhypotesen.

19 Økonometri 1: F6 19 Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient t-testet for er givet ved og er fordelt som under nulhypotesen. Alternativhypotesen:  Ensidede alternativer: eller  Tosidet alternativ: Ex. Afkast af uddannelse: Hypotese om  Nulhypotese:  Relevant alternativ:

20 Økonometri 1: F6 20 Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient Klassisk teststrategi:  Vælg signifikansniveau: Sandsynlighed for at afvise nulhypotesen, givet at den er sand. Typisk vælges 5 %.  Vælg alternativhypotese: Bestemmer den kritiske region, givet signifikansniveauet.  Beregn teststatistik. Afvis nulhypotesen hvis testet er i den kritiske region. Afvis ellers ikke. Alternativ: Beregn p-værdi: Marginale signifikansniveau som netop ville betyde at nulhypotesen må afvises.

21 Økonometri 1: F6 21 Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient Typiske eksempler:  a=0: Standard signifikanstest.  a=1 eller a=-1: Test af homogenitet eller proportionalitet. Konfidensinterval: Givet signifikansniveau,, fx 5 %. Så er 100- % konfidensintervallet givet ved: Konstrueres intervallet således vil det i 100- % af udfaldene rumme den sande værdi. Nulhypoteser om værdier udenfor vil således blive afvist. Skitsér på tavlen. Eksempel: Lønrelationen.

22 Økonometri 1: F6 22 Hypotesetest: Eksempel: Lønrelationen Afhængig variabel: log(timeløn) Kilde: Output fra SAS-programmet lon_udd2.sas RegressorModel (1)Model (2) uddaar0,0452 (0,0035) 0,0485 (0,0032) erfaring_0,0139 (0,0010) konstant4,3500 (0,0420) 4,1051 (0,0424) Antal observationer1046 0,1400,275

23 Økonometri 1: F6 23 NB’er fra denne forelæsning Monte Carlo eksperimenter som en måde at gøre det statistiske ”tankeeksperiment” mere konkret. Resultater fra Monte Carlo eksperimenter afhænger potentielt af de valgte parametre for DGP’en. Antal observationer i stikprøven (n) og antal replikationer (gentagelser) i eksperimentet (M). Eksplicit om ingredienser i klassisk teststrategi.

24 Økonometri 1: F6 24 Hvad bliver det næste? Fredag: Mere om kapitel 4, starter på kapitel 5 om ”asymptotiske” resultater. Hjemmeopgave på ugeseddel 3: Den ”alternative” estimator Ugeseddel 4: Simulationseksperiment.