Grundlæggende teoretisk statistik

Præsentationer af emnet: "Grundlæggende teoretisk statistik"— Præsentationens transcript:

1 Grundlæggende teoretisk statistik
Kapitel F Konfidensintervaller

2 Konfidensinterval Et konfidensinterval for en populationsparameter:
Middelværdien, μ Populationsandèlen, p Variansen, σ2 Intensitèten, λ er et interval, som med en given sikkerhed (konfidens) indeholder den ukendte populationsparameter! Konfidensintervaller baserer sig på viden om estimatorernes fordeling, middelværdi og varians Bemærk, at der tales om konfidens – ej sandsynlighed

3 Præcision og Sikkerhed
Præcision eller nøjagtighed måles på intervallets bredde Konfidens er - med vores viden om estimators fordeling - den sikkerhed vi har for at finde den ukendte populationsparameter i intervallet Præcision og sikkerhed er modsat rettede tendenser ved given stikprøve Vi kan imidlertid forøge både præcision og sikkerhed ved at forøge stikprøvens størrelse.

4 Estimatorers egenskaber (BWH side 108ø)
Forventningsrette Forventningsværdien på estimatoren er lig populationsværdien Præcise / Efficiente Lille variation Bemærk, at sammenlignet med medianen Er mere præcis (efficient) estimator, når X er normalfordelt! Men mindre efficient, hvis X ikke er normalfordelt Konsistente Ved stigende stikprøve konvergerer de mod populations-værdien

5 Stikprøvefordeling for
Vi udtager en stikprøve på n enheder fra en population med populationsgennemsnit på μ Populationsvarians på σ2 Vi beregner gennemsnittet i stikprøven, og benævner det , som estimat for μ. Da gennemsnittet estimerer μ, kalder vi også er en stokastisk variabel og spørgsmålet er derfor: Hvad er Middelværdi? Varians / standardafvigelse? Fordeling?

6 Stikprøvefordeling for
Korrektionsfaktor for store stikprøver

7 Konfidensinterval på μ – kendt populationsvarians σ2
Stikprøve-fejlen eller Fejl-marginen α (1-α) α/2 Zα/2 Z1-α/2 0,01 0,99 0,005 -2,576 2,576 0,05 0,95 0,025 -1,96 1,96 0,10 0,90 -1,645 1,645

8 Konfidensinterval på μ - ukendt populationsvarians, σ2
Det forudsættes fortsat, at X er normalfordelt I mange praktiske situationer er der ingen viden om populationsvariansen I flere situationer har vi også en lille stikprøve Lille n og estimation af σ giver ekstra usikkerhed, som håndteres ved at anvende Student’s t-fordeling, hvis parameter v kaldes antal frihedsgrader: v = n-1 Student’ t-fordeling ligner Z~N(0,1), men har større varians, der dog aftager med stigende frihedsgrads-antal

9 (1-)% konfidensinterval på μ
Opslag i t-fordeling: Eksempel ved n=10, og derfor v=n-1=9 α α/2 tα/2 t1-α/2 0,01 0,005 -3,25 3,25 0,05 0,025 -2,262 2,262 0,10 -1,833 1,833

10 (1-)% konfidensinterval på μ
P.g.a. den centrale grænseværdisætning, og at Students t-fordeling konvergerer mod N(0,1)

11 Stikprøvefordeling for
Vi udtager en stikprøve på n enheder fra en population med en andèl, p med et givet karakteristika. Antal i stikprøven med det givne karakteristika er binomialfordelt, b(n,p) Vi beregner stikprøveandelen , som estimat for p er en stokastisk variabel og spørgsmålet er derfor: Hvad er dens Middelværdi? Varians / standardafvigelse? Fordeling?

12 Konfidensinterval på populations-andèl
Forudsat normal approximation er acceptabel, d.v.s. at enten np(1-p) >9 eller (np>5 og n(1-p)>5)

13 Stikprøvefordeling for s2
σ2 estimeres med stikprøvevariansen: s2 er en forventningsret estimator, E(s2)= σ2 Variansen på s2: Hvis X~N(μ,σ2) så er:

14 Konfidensinterval på varians, σ2

15 Stikprøvefordeling for (når X~poisson (λ))
Estimator = λ estimeres med gennemsnittet E( )= λ VAR( )= λ / n Estimator er approximativt normalfordelt, jf. den centrale grænseværdisætning:

16 Konfidensinterval på poisson-parameter
Forudsat normal approximation er acceptabel

17 Oversigt S2 Populations- parameter Esti-mator Estimators fordeling
Interval- estimat (1-α)% Middelværdi, µ Normalfordelt med σ kendt, t-fordelt med σ ukendt Populations-andel, p Binomialfordelt (n,p)  Normalfordelt hvis V(X)>9 Varians, σ2 S2 (n-1)s2 / σ2 ~ Χ2 (chikvadrat) Intensitèt, λ Poissonfordelt (λ) Normalfordelt, hvis λ>9

18 Kap F - opgaver Opgavesamling i Statistik 2009 fra Statistica:
Opgave 39-42, ), 46, E152), E122) BWH-Opgavesamling: Opgavesæt U3 Opgave 1 Spm 1.3 Opgave 2 Opgavesæt U4 Opgave 6, 7 og 8

19 Sammenligning af 2 populationer
Konfidensinterval for forskel i middelværdi i 2 normalfordelte populationer 2 afhængige stikprøver (Matched pairs) 2 uafhængige stikprøver med kendte pop.varianser Ukendte men ens populationsvarianser Ukendte men forskellige populationsvarianser Konfidensinterval for forskel i populationsandèl i 2 uafhængige populationer Konfidensinterval for populationsvarians i normalfordelt population Bestemmelse af stikprøvestørrelse

20 Konfidensinterval for μD=(μE – μF) i 2 afhængige stikprøver
Bruges, når du på et givet objekt måler en Før- og en Eftersituation, f.eks. blodtryk eller puls før (F) hhv. efter (E) en given påvirkning. Estimator for μD er den gennemsnitlige difference, idet di = xiE – xiF Populationsdifferencen antages normalfordelt

21 Konf. interval for (μx – μy) i 2 uafhængige stikprøver m/ kendte pop
Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafhængige stikprøver m/ kendte pop.varianser Estimator for (μx-μy) er Da stikprøverne er uafhængige kan variansen på forskellen mellem de 2 stikprøvegennem-snit beregnes som summen af de 2 enkelte varianser: Fortsættes

22 Konf. interval for (μx – μy) i 2 uafhængige stikprøver med kendte pop
Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafhængige stikprøver med kendte pop.varianser (1-α)% konfidensintervallet bliver derfor:

23 De 2 varianser antages ens
Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafh. stikprøver med ukendte, men ens pop.varianser De 2 varianser antages ens Da stikprøverne er uafhængige kan variansen på forskellen mellem de 2 stikprøvegennem-snit beregnes som summen af de 2 enkelte varianser, hvor den fælles varians estimeres med Fortsættes

24 Konf. interval for (μx – μy) i 2 uafh
Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafh. stik-prøver med ukendte, men ens pop.varianser (1-α)% konfidensintervallet bliver derfor:

25 De 2 varianser antages forskellige
Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafh. stik-prøver med ukendte, men uens pop.varianser De 2 varianser antages forskellige Da stikprøverne er uafhængige kan variansen på forskellen mellem de 2 stikprøvegennem-snit beregnes som summen af de 2 enkelte varianser, der begge estimeres udfra stikprøvevarianserne Den supplerende usikkerhed, som de ukendte og uens varianser giver, kompenseres ved at t-fordelingens antal frihedsgrader justeres ned Fortsættes

26 Med følgende beregnede antal frihedgrader:
Konf.interval for (μx – μy) i 2 uafh. stikprøver med ukendte, men uens pop.varianser (1-α)% konfidensintervallet bliver derfor: Med følgende beregnede antal frihedgrader:

27 Konf.interval for forskel i populations-andèle i 2 uafhængige populationer
Estimator for forskellen i populationsandelen (px – py) er forskellen i stikprøveandelene hvor Da stikprøverne er uafhængige kan varianserne på hver enkelt estimator blot lægges sammen Begge stikprøver skal være store, da vi skal kunne approximere fra binomial- til normalfordelingen Fortsættes

28 Konf.interval for forskel i populations-andèle i 2 uafhængige populationer
(1-α)% konfidensintervallet bliver derfor:

29 Grundlæggende teoretisk statistik
Kapitel M Bestemmelse af stikprøvestørrelse

30 Stikprøvens størrelse ved estimation på μ
Normalfordelt population med kendt varians Stikprøven bestemmes ud fra den maksimale stikprøvefejl (fejlmargin), som man ønsker, d.v.s. den minimale nøjagtighed, der kræves!

31 Stikprøvens størrelse ved estima-tion på p
Binomialfordelt population med stor stikprøve Normal approximation skal være ok Stikprøven bestemmes igen ud fra den maksimale stikprøve-fejl, som man ønsker, d.v.s. den minimale nøjagtighed, der kræves! Problemet er her, at variansen på vores estimator, stikprøve-andèlen beror på den ukendte populationsandèl, p: Fortsættes

32 Stikprøvens størrelse ved estimation på p
Stikprøvestørrelsen beregnes som før ved: Men da p jo er ukendt kan den maksimale stikprøvestørrelse der skal udvælges for at sikre den givne nøjagtighed findes ved at se på, hvornår p*(1-p) er i sit maksimum. Det er den, når p=0,5 Fortsættes

33 Stikprøvens størrelse ved estima-tion på p
Den maksimale stikprøve kan derfor bestem-mes til. Ved forudgående viden om populationsan-delens maksimale/minimale størrelse kan denne alternativt bruges