Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Præsentationer af emnet: "Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)"— Præsentationens transcript:

1 Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Session 7. Analyse af lineare systemer og praktiske eksempler Ved Samuel Schmidt

2 Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

3 Signaler og systemer i de 3 domæner
Repetition Signaler og systemer i de 3 domæner System Input Output Output Tids domænet: Fourier domænet: Z-transfomation:

4 IIR og FIR filter Repetition IIR FIR
Systemer med uendelige impuls respons har altid mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) FIR Systemer med endelige impuls respons har ingen betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) General form: Eksempel: Invers transformation:

5 ROC af differentiel funktioner
Repetition ROC af differentiel funktioner Hvis systemet er kausalt Hvis systemet er stabilt og dobbelt siddet Re Im 1 2 3 * * Im 3 2 1 Re * * 1 2 5

6 Stabilt system Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset ”Bounded input Bounded output (BIBO)” I tids domænet: Vi kan se om ovenforstående gælder i z-transformatione hvis Derfor skal enhedscirkelen ligge i ROC hvis systemet er stabilt Dermed skal polerne for et stabilt system ligge indenfor enhedcirkelen

7 Amplitude og fase respons
Repetition Amplitude og fase respons Amplitude output : Fase output : Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain” Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet

8 Amplitude og fase respons: Ideelle delay system
Repetition Amplitude og fase respons: Ideelle delay system Ideelle delay system: Frekvens respons Amplitude respons Fase respons

9 Group delay Repetition Forskydning opgivet i samples (tid)
Idelle delay: Group delay:

10 Ideelt gruppe delay Repetition
I de fleste systemer vil vi gerne have konstant gruppe delay for interessante frekvenser Da forsager en lineær fase respons et konstant gruppe delay.

11 Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

12 Frekvens respons af LTI systemer
Outputtet er inputtet foldet med systemets impuls respons Foldning svare til multiplikation i frekvens domænet

13 Amplitude og fase respons
Amplitude output : Fase output : Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain” Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet

14 EKG filteret med et filter med ikke linear fase

15 Frekvens respons af rationelle systemer
Ved at substituere z=ejω

16 Amplitude respons af rationelle systemer
multiplikation/division af absolutte faktorer

17 Fase respons af rationelle systemer
Gruppe delay: Addering/substrahering af absolutte faktorer

18 Amplitude respons i dB Amplitude respons i dB:
Der med kan både Amplitude og fase respons beregne ved addering

19 Generaliseret lineær fase
Hvor A er en reel funktion til ω Og hvor det ekspotentielle led beskriver fasen ved den lineære funktion hvor α og β er konstanter

20 Eksempel på Generaliseret lineær fase
Z transform FT transform Sidste led er jævnfør bevis side 73 Fasen –ω1.5 og gruppe delay er 1.5 sampels

21 Symmetri af impulsresponser
Sikkerhed for generel lineær fase hvis Symmetrisk impuls respons: Antisymmetrisk impuls respons:

22 Eksempler på symmetriske FIR linear fase systemer
Type I: h[n]=h[m-n] (M Even) Type II, h[n]=h[m-n] (M odd) Type III, h[n]=-h[m-n] (M Even) Type IV, h[n]=-h[m-n] (M odd)

23 Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

24 Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (1/2)
System z-domæne: System Fourier domæne Plot poler, nul punkter og som vektore i z-planet Fra vektor matematik ved vi: Og da amplitude responsen er Nul vektor Derfor

25 Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)

26 Polers virkning på amplitude responsen
Et nul punkt og ingen pol: Ingen nul punkt og en pol Så derfor jo mindre v3 (pole vektor) og jo større amplitude

27 Fase respons fra z-plan et nul punkt
System z-domæne: System Fourier domæne Husk faser fra flere systemer skal adderes: Derfor er Da Er

28 Fase respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)

29 Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

30 Ideelle filtre Fjerner uønskede signaler
Påvirker ikke det ønskede signal

31 Implusrespond for ideellet lavpas filter

32 Poler og nulpunkter

33 Fra lavpas til højpas filtere
Invers Fourier Differrens funktion

34 Digital resonator Poler tæt på enhedscirklen

35 Notch Filter Nul punkter tæt på enhedscirklen o Re Im 1 2 3 o o

36 All-pass filter F.eks.

37 Agenda Amplitude og fase respons plots fortsat.
Fra poler til Fourier plots Ideelle filtre Matlab

38 Test af digitalt system (A)
Find impuls responsen af system2.m

39 Test af digitalt system (A)
Er systemet lineært? Er det tidsinvariant? Er det kausalt? Er det stabilt? Er det et IR eller FIR system?

40 Lineært system Defineret ud fra superposition

41 Tidsinvariante systemer
Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid (Koefficienterne er uafhængig af tid) Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-n0] så er y2[n]=y1[n-n0] Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år 70 år 45 år 20 år Ikke tidsinvariant system

42 Kausalitet Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid. y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1

43 Stabilitet Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset Bounded input Bounded output (BIBO) Hvilket kan sikres hvis impulsresponsen kan summers til en endelig værdi Givet

44 FIR systemer Finite impulse response (FIR)
Endelig antal nonzero samples i impulsresponsen Altid stabilt så længe værdierne i impuls responsen er endelige

45 IIR systemer Infinite impulse response (IIR)
Uendelig antal nonzero samples i impulsresponsen Kan være både stabilt og ustabilt Eksempel på et stabilt system

46 Test af digitalt system (A)
Er systemet lineært? Ja Er det tidsinvariant? Ja Er det kausalt? Ja Er det stabilt? Ja Er det et IR eller FIR system? FIR

47 Test af digitalt system (B) systemB.m
System respons Bestem poler og nul punkter Find frekvensen responsen H(ej) analytisk Find frekvensen responsen H(ej) i fra impuls responsen

48 Output af system Bestem output hvis inputtet er
Bestem y[n] med ved hjælp af systemet Bestem y[n] med foldning i mellem Bestem y[n] med Fourier transform Bestem y[n] med input output funktion (Differentiel funktion)