Download præsentationen
Offentliggjort afAugusta Damgaard Redigeret for ca. et år siden
1
Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Session 5. Z-transformation Ved Samuel Schmidt
2
Basis signaler: Unit sample og Unit step
Repetition Basis signaler: Unit sample og Unit step
3
Repetition Impuls respons T{∙} Side 23 Oppenheim
4
LTI egenskaber: Stabilitet og impuls responsen
Et LTI system er stabilt hvis og kun hvis
5
Stabilitet Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset Bounded input Bounded output (BIBO) Givet
6
Differentialligninger med linære konstanter i det tidsdiskrete domæne
Repetition Differentialligninger med linære konstanter i det tidsdiskrete domæne Differentialligninger har ikke unikke løsninger Lineart hvis systemet initialiseres ved hvile ved n=0
7
Signaler og systemer i de 3 domæner
Repetition Signaler og systemer i de 3 domæner System Input Output Output Tids domænet: Fourier domænet: Z-transfomation:
8
Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation
9
Hvorfor z-transformation
Z-transformationen giver analytiske fordele Hurtig foldning mellem signaler Kan bruges på den stor gruppe af signaler
10
Z-transformation z-transformation Hvor z er et komplekst tal
Im 1 2 3 z z-transformation Hvor z er et komplekst tal F.eks. z=2+j3
11
Simple eksempler
12
Konvergens af z-transformation
z transformationen må repræsentere en endelig værdi for en givet z. Hvilket kræver at z transformationen summen konvergere Derfor skal z ligge i det som hedder region of convergence
13
Simple eksempler ROC: Hvis k>0
14
Z-transformation og konvergens
Re Im 1 2 3 z-transformation Z på polar form r ω
15
Konvergens af z-transformation afhængig af |z|
Da Da det er r-n ledet som afgør konvergens er |z| afgørende for konvergens i z-transformationer
16
z-transformation af unit step (1/2)
Konvergere summen? (Hvis du kender z) Ja hvis |z|>1
17
z-transformation af unit step (2/2)
Husk at: Hvor Derfor bliver z-transformationen af unit step Hvis r>1 (eller |z|>1) konvergere z- transformationen af unit step responsen
18
Regionen af konvergens (ROC)
Da konvergensen kun afhænger af amplituden af |z| og er uafgængi af fasen vil værdierne af z som opfylder konvergens formes som en cirkel i det komplekse plan Altså hvis |z|>1 som vi fandt ved Unit step signalet Re Im 1 2 3
19
Regionen af konvergens (ROC)
Hvis|z|<0.7 Re Im 1 2 3
20
Eksempel * Højresiddet eksponentiel signal Z-transformation:
For at konverger skal Det vil sige hvilket sker når Hvis |z|>a kan vi bruge vores geometriske rækker Re Im 1 a *
21
Eksempel * Venstre eksponentiel signal Z-transformation:
For at konverger skal hvilket sker når Hvis |z|<a kan vi bruge vores geometriske rækker Re Im 1 a *
22
ROC og signal typer Kausal eksponentiel
23
ROC og signal typer Ikke Kausal eksponentiel (Venstre sidet)
24
Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation
25
Z transformationer som en rationel funktion
Det vil sige en ratio mellem 2 polynomiske funktioner Hvor P(z) og Q(z) er polynomier
26
Nuller og Poler Nuller Poler ROC kan ikke indeholde polerne
Værdier af z som hvor X(z)=0 kaldes nuller Hvilket er rødderne til tæller polynomiet Poler Værdier af z som hvor X(z)= ∞ kaldes poler Hvilket er rødderne til nævner polynomiet ROC kan ikke indeholde polerne
27
Nuller og Poler i vores tidligere eksempler
Højresiddet eksponentiel signal: Re Im 1 a * Nuller: X(z)=0 når z=0 Poler: X(z)=∞ når z=a
28
Z-transformation Eksempel
Kombination af to eksponentielle signaler Re Im 1 *1/2 *1/3
29
Egenskaber ved ROC Egenskab 1: Egenskab 2: Egenskab 3:
ROC er en ring eller skive centeret i z-planet Egenskab 2: Fourier transformationen konvergere kun hvis enhedscirkelen er inkluderet i ROC Egenskab 3: ROC indeholder ingen poler
30
Egenskaber ved ROC Egenskab 4:
Når x[n] er afgrænset fylder ROC hele z-planet på nær z=0 og z=∞ Re Im 1 a
31
Egenskaber ved ROC Egenskab 5:
Når x[n] er højre siddet (Kausalt) er ROC er en ring som forsætter fra den største pol til z=∞ Re Im 1 a *
32
Egenskaber ved ROC Egenskab 6:
Når x[n] er venstre siddet (ikke Kausalt) er ROC er en skive som afgrænses af den mindste pol Re Im 1 a *
33
Egenskaber ved ROC Egenskab 7:
Når x[n] er to siddet er ROC er en ring som afgrænses af den mindste pol som bidrager til n<0 og den største pol som bidrager til n>0. Im 1 a2 a1 * * 1 Re
34
Egenskaber ved ROC Egenskab 8: ROC er en sammenhængende region
35
Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation
36
Formel Invers z-transformation
Hvor C er mod uret integrering over en cirkel som omgrænser alle poler Re Im 1 a *
37
Invers z-transformation praktisk
Inspektions metode Partialbrøks-opspaltning Potensrække ekspansion (power series expansion)
38
Invers z-transformation Inspektions metode
Genkendelse af kendte transformations par. Kig i tabel 3.1 i bogen Eksempel. Vi ved at Så når vi ser en z-transformation som ser sådan ud Kan vi se at:
39
Fra z-transformation til tidsdomæne
Partialbrøks-opspaltning Potensrække ekspansion Inspektion Tidsdomænet
40
Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning
Når vi ikke umiddelbart kan finde funktions led i tabeller. Kan vi måske simplificere funktionen med Partialbrøksopspaltning En rationelt funktion som denne Kan faktoriseres Hvor ck er ikke nul nuller og dk er ikke nul poler
41
Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning
Hvis M<N kan Ekspanderes som Hvor Ak kan findes: Hvis M≥N kan antallet af nuller (M) reduceres med polynomiedivision
42
Partialbrøksopspaltning eksempel (1/4)
Z transform: Vi har anden orden poler og nuller alstå M=N. Derfor reducere vi antallet af nuller med polynomiedivision
43
Partialbrøksopspaltning eksempel (2/4)
Fra forrige side Poler: zk Faktoriseret udgave Ekspansion:
44
Partialbrøksopspaltning eksempel (3/4)
Beregning af A1: Hvor vi ved fra forrige side: A1 er derfor: Når z=1/2 er A1 derfor:
45
Partialbrøksopspaltning eksempel (4/4)
A2 findes på samme måde Derfor er Ved inspektion og ved hjælp fra tabel 3.1
46
Invers z-transformation Potensrække ekspansion
Det inverse af hvad vi gør med de geometriske rækker: Ved hjælp af Inspektion finder vi:
47
Eksempel: på potensrække ekspansion
Her kan vi dividere brøken ud til summerings række, med polynomiedivision Resultat ved hjælp af Inspektion
48
Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation
49
Egenskaber ved z- transformation
Z-transformationen er Lineær
50
Egenskaber ved z- transformation
Tids skifte x[n-n0]: Bevis: Z-transformation: Substituer: m=n-n0
51
Egenskaber ved z- transformation
Multiplikation i z-domænet svare til foldning i tids domænet
52
Bevis for Foldningssum Z- trans formation af foldningssum
Tidsskifte egenskab
53
System analyse med Z-transform
Z-transform form af impuls responsen (ofte kalde system responsen) Implus responsen fra input og output System output
54
Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation
Lignende præsentationer
© 2024 SlidePlayer.dk Inc.
All rights reserved.