Præsentation er lastning. Vent venligst

Præsentation er lastning. Vent venligst

Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Lignende præsentationer


Præsentationer af emnet: "Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)"— Præsentationens transcript:

1 Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Session 5. Z-transformation Ved Samuel Schmidt

2 Basis signaler: Unit sample og Unit step
Repetition Basis signaler: Unit sample og Unit step

3 Repetition Impuls respons T{∙} Side 23 Oppenheim

4 LTI egenskaber: Stabilitet og impuls responsen
Et LTI system er stabilt hvis og kun hvis

5 Stabilitet Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset Bounded input Bounded output (BIBO) Givet

6 Differentialligninger med linære konstanter i det tidsdiskrete domæne
Repetition Differentialligninger med linære konstanter i det tidsdiskrete domæne Differentialligninger har ikke unikke løsninger Lineart hvis systemet initialiseres ved hvile ved n=0

7 Signaler og systemer i de 3 domæner
Repetition Signaler og systemer i de 3 domæner System Input Output Output Tids domænet: Fourier domænet: Z-transfomation:

8 Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation

9 Hvorfor z-transformation
Z-transformationen giver analytiske fordele Hurtig foldning mellem signaler Kan bruges på den stor gruppe af signaler

10 Z-transformation z-transformation Hvor z er et komplekst tal
Im 1 2 3 z z-transformation Hvor z er et komplekst tal F.eks. z=2+j3

11 Simple eksempler

12 Konvergens af z-transformation
z transformationen må repræsentere en endelig værdi for en givet z. Hvilket kræver at z transformationen summen konvergere Derfor skal z ligge i det som hedder region of convergence

13 Simple eksempler ROC: Hvis k>0

14 Z-transformation og konvergens
Re Im 1 2 3 z-transformation Z på polar form r ω

15 Konvergens af z-transformation afhængig af |z|
Da Da det er r-n ledet som afgør konvergens er |z| afgørende for konvergens i z-transformationer

16 z-transformation af unit step (1/2)
Konvergere summen? (Hvis du kender z) Ja hvis |z|>1

17 z-transformation af unit step (2/2)
Husk at: Hvor Derfor bliver z-transformationen af unit step Hvis r>1 (eller |z|>1) konvergere z- transformationen af unit step responsen

18 Regionen af konvergens (ROC)
Da konvergensen kun afhænger af amplituden af |z| og er uafgængi af fasen vil værdierne af z som opfylder konvergens formes som en cirkel i det komplekse plan Altså hvis |z|>1 som vi fandt ved Unit step signalet Re Im 1 2 3

19 Regionen af konvergens (ROC)
Hvis|z|<0.7 Re Im 1 2 3

20 Eksempel * Højresiddet eksponentiel signal Z-transformation:
For at konverger skal Det vil sige hvilket sker når Hvis |z|>a kan vi bruge vores geometriske rækker Re Im 1 a *

21 Eksempel * Venstre eksponentiel signal Z-transformation:
For at konverger skal hvilket sker når Hvis |z|<a kan vi bruge vores geometriske rækker Re Im 1 a *

22 ROC og signal typer Kausal eksponentiel

23 ROC og signal typer Ikke Kausal eksponentiel (Venstre sidet)

24 Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation

25 Z transformationer som en rationel funktion
Det vil sige en ratio mellem 2 polynomiske funktioner Hvor P(z) og Q(z) er polynomier

26 Nuller og Poler Nuller Poler ROC kan ikke indeholde polerne
Værdier af z som hvor X(z)=0 kaldes nuller Hvilket er rødderne til tæller polynomiet Poler Værdier af z som hvor X(z)= ∞ kaldes poler Hvilket er rødderne til nævner polynomiet ROC kan ikke indeholde polerne

27 Nuller og Poler i vores tidligere eksempler
Højresiddet eksponentiel signal: Re Im 1 a * Nuller: X(z)=0 når z=0 Poler: X(z)=∞ når z=a

28 Z-transformation Eksempel
Kombination af to eksponentielle signaler Re Im 1 *1/2 *1/3

29 Egenskaber ved ROC Egenskab 1: Egenskab 2: Egenskab 3:
ROC er en ring eller skive centeret i z-planet Egenskab 2: Fourier transformationen konvergere kun hvis enhedscirkelen er inkluderet i ROC Egenskab 3: ROC indeholder ingen poler

30 Egenskaber ved ROC Egenskab 4:
Når x[n] er afgrænset fylder ROC hele z-planet på nær z=0 og z=∞ Re Im 1 a

31 Egenskaber ved ROC Egenskab 5:
Når x[n] er højre siddet (Kausalt) er ROC er en ring som forsætter fra den største pol til z=∞ Re Im 1 a *

32 Egenskaber ved ROC Egenskab 6:
Når x[n] er venstre siddet (ikke Kausalt) er ROC er en skive som afgrænses af den mindste pol Re Im 1 a *

33 Egenskaber ved ROC Egenskab 7:
Når x[n] er to siddet er ROC er en ring som afgrænses af den mindste pol som bidrager til n<0 og den største pol som bidrager til n>0. Im 1 a2 a1 * * 1 Re

34 Egenskaber ved ROC Egenskab 8: ROC er en sammenhængende region

35 Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation

36 Formel Invers z-transformation
Hvor C er mod uret integrering over en cirkel som omgrænser alle poler Re Im 1 a *

37 Invers z-transformation praktisk
Inspektions metode Partialbrøks-opspaltning Potensrække ekspansion (power series expansion)

38 Invers z-transformation Inspektions metode
Genkendelse af kendte transformations par. Kig i tabel 3.1 i bogen Eksempel. Vi ved at Så når vi ser en z-transformation som ser sådan ud Kan vi se at:

39 Fra z-transformation til tidsdomæne
Partialbrøks-opspaltning Potensrække ekspansion Inspektion Tidsdomænet

40 Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning
Når vi ikke umiddelbart kan finde funktions led i tabeller. Kan vi måske simplificere funktionen med Partialbrøksopspaltning En rationelt funktion som denne Kan faktoriseres Hvor ck er ikke nul nuller og dk er ikke nul poler

41 Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning
Hvis M<N kan Ekspanderes som Hvor Ak kan findes: Hvis M≥N kan antallet af nuller (M) reduceres med polynomiedivision

42 Partialbrøksopspaltning eksempel (1/4)
Z transform: Vi har anden orden poler og nuller alstå M=N. Derfor reducere vi antallet af nuller med polynomiedivision

43 Partialbrøksopspaltning eksempel (2/4)
Fra forrige side Poler: zk Faktoriseret udgave Ekspansion:

44 Partialbrøksopspaltning eksempel (3/4)
Beregning af A1: Hvor vi ved fra forrige side: A1 er derfor: Når z=1/2 er A1 derfor:

45 Partialbrøksopspaltning eksempel (4/4)
A2 findes på samme måde Derfor er Ved inspektion og ved hjælp fra tabel 3.1

46 Invers z-transformation Potensrække ekspansion
Det inverse af hvad vi gør med de geometriske rækker: Ved hjælp af Inspektion finder vi:

47 Eksempel: på potensrække ekspansion
Her kan vi dividere brøken ud til summerings række, med polynomiedivision Resultat ved hjælp af Inspektion

48 Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation

49 Egenskaber ved z- transformation
Z-transformationen er Lineær

50 Egenskaber ved z- transformation
Tids skifte x[n-n0]: Bevis: Z-transformation: Substituer: m=n-n0

51 Egenskaber ved z- transformation
Multiplikation i z-domænet svare til foldning i tids domænet

52 Bevis for Foldningssum Z- trans formation af foldningssum
Tidsskifte egenskab

53 System analyse med Z-transform
Z-transform form af impuls responsen (ofte kalde system responsen) Implus responsen fra input og output System output

54 Session 3. Z-transform Z transformationer som en rationel funktion
Invers z-transform Egenskaber ved z- transformation


Download ppt "Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)"

Lignende præsentationer


Annoncer fra Google