Sinusrelation Cosinusrelation

Præsentationer af emnet: "Sinusrelation Cosinusrelation"— Præsentationens transcript:

1 Sinusrelation Cosinusrelation
Beviser

2 Definition af Sinus (i enhedscirklen)
Forudsætninger: Definition af Sinus (i enhedscirklen) Definition af Cosinus (i enhedscirklen) Sin og Cos i den retvinklede trekant hyp hyp∙sin(v) v hyp∙cos(v)

3 Sinusrelationen i en retvinklet trekant
Da trekanterne er ensvinklede får vi samme forhold mellem de to lodrette sider, som mellem de to skrå sider: A C a c 𝑎 sin(𝐴) = 𝑐 1 Bruger vi 1 = sin(90°) = sin(C) fås: A 1 sin(A) 𝑎 sin(𝐴) = 𝑐 sin(𝐶) (Eller på hovedet): sin 𝐴 𝑎 = sin⁡(C) c

4 Sinusrelation i ”skævvinklet” trekant
P r q R Q p Q r R q h

5 ℎ=ℎ 𝑟 sin 𝑄 =𝑞 sin(𝑅) 𝑟 sin 𝑄 𝑟 𝑞 = 𝑞 sin 𝑅 𝑟 𝑞 sin 𝑄 𝑞 = sin 𝑅 𝑟 Q r
Q r  R q Vi bruger om retvinklede trekanter: h h r∙sin(Q) q∙sin(R) hyp∙sin(v) v hyp ℎ=ℎ 𝑟 sin 𝑄 =𝑞 sin(𝑅) 𝑟 sin 𝑄 𝑟 𝑞 = 𝑞 sin 𝑅 𝑟 𝑞 sin 𝑄 𝑞 = sin 𝑅 𝑟

6 Cosinusrelation i ”skævvinklet” trekant
P r q R Q p Q r q h p

7 h2 = h2 r2 – x2 = q2 – y2 q2 – y2 = r2 – x2 q2 = r2 – x2+ y2
Q r q h x y Q P r p R q = r·cos(Q) Pyth: h2= r2 – x2 h2= q2 – y2 h2 = h2 r2 – x2 = q2 – y2 q2 – y2 = r2 – x2 q2 = r2 – x2+ y2 q2 = r2 – x2+ p2 + x2 – 2∙p∙x q2 = r2 + p2 – 2∙p∙x q2 = r2 + p2 – 2∙p∙ r∙cos(Q) Da x+y = p fås y = p – x, hvoraf y2 = (p – x)2 = (p – x)·(p – x) = p2 – p·x – x·p + x2 = p2 + x2 – 2·p·x v hyp hyp∙cos(v) Vi bruger om retvinklede trekanter:

8