Induktionsbevis AM 2010. INDUKTION – generalisering ud fra specialtilfælde Eks. I Fremskrivningsformlen ved en fast vækstrate r pr. trin. Startværdi =

Præsentationer af emnet: "Induktionsbevis AM 2010. INDUKTION – generalisering ud fra specialtilfælde Eks. I Fremskrivningsformlen ved en fast vækstrate r pr. trin. Startværdi ="— Præsentationens transcript:

1 Induktionsbevis AM 2010

2 INDUKTION – generalisering ud fra specialtilfælde Eks. I Fremskrivningsformlen ved en fast vækstrate r pr. trin. Startværdi = bVærdi efter n fremskrivninger = K n K 1 = b + r  b = (1 + r)  b K 2 = (1 + r)  K 1 = Man fremskriver ved at gange med (1 + r) K 3 = (1 + r)  K 2 = Generalisering:...... tror vi da (1 + r)  (1 + r)  b =(1 + r) 2  b (1 + r)  (1 + r) 2  b =(1 + r) 3  b Eks. II 2  2 = 2 + 2 = 2 2 Generalisering: K n = (1 + r) n  b addition, multiplikation og potensopløftning er samme operation..... nej, vel

3 Sætning Lad P n, n  N være et udsagn, så gælder: P 1 er sand  (P n  P n+1,  n  N )  P n er sand  n  N ”Oversat”: 1.HVIS en påstand gælder på 1. trin OG 2.HVIS påstanden gælder på trin n, så kan man vise, at det også gælder på næste trin (n+1) SÅ gælder påstanden for alle naturlige tal n

4 Trin 1 Trin n Trin n+1

5 Trin 1 Trin n Trin n+1 Trin 2 Trin n+2

6 Bevismetoden INDUKTION Vis, at sætningen gælder for n = 1 Vis, at sætningen gælder for n = 1 Antag, at sætningen gælder for n og vis, så, at den dermed også gælder for n+1 Antag, at sætningen gælder for n og vis, så, at den dermed også gælder for n+1

7 = K 0  (1 + r) 1 Sætning: K n = K 0  (1+r) n n=1: n=1: K 1 = K 0 +r  K 0  = K 0  (1 + r) Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 Antag at  er sandt for et trin n Antag at K n = K 0  (1+r) n er sandt for et trin n K n+1 = K n  (1 + r) =  (1 + r) = K 0  (1+r) n  (1 + r)  =  = K 0  (1+r) n+1 dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle n  N Potensregel P1

8  (x)’ = 1 Sætning: (x n )’ = n  x n-1 n=1: n=1: (x 1 )’ =  (x)’ = 1  x 0 Reglen gælder altså ved et starttrin på 1 Antag at (x n )’ = n  x n-1 er sandt for et trin n Antag at (x n )’ = n  x n-1 er sandt for et trin n (x n+1 )’ = (x  x n )’  = 1  x n  + x  n  x n-1 = 1  x n + n  x n =  (1+ n)  x n = dvs. at sætningen dermed også gælder for n+1 Da de to betingelser i induktionsbeviset er opfyldt, gælder sætningen altså for alle n  N Man kan med en anden metode vise, at (x a )’ = a x a-1 Man kan med en anden metode vise, at (x a )’ = a  x a-1 for  a  R Produktreglen  (n + 1)  x n 1  x 1-1