Matematikseminar foråret 2009

Præsentationer af emnet: "Matematikseminar foråret 2009"— Præsentationens transcript:

1 Matematikseminar foråret 2009
Regression , statistik og sandsynlighedsregning

2 Regression Lineær regression f(x)=a∙x+b
Eksponentiel regression f(x)=b∙ax Potensregression f(x)=b∙xa Eks. Henfald (TI89) Radioaktivt henfald: tiden i timer og aktivitet i becquerel t bec 4420 10 3510 20 2710 30 2200 40 1730 50 1380 60 1090 70 880

3 Deskriptiv statistik

4 Noget teori og nogle begreber
En stikprøve eller et observationssæt betegnes x1,x2,…………xn En a- fraktil er det mindste tal x, hvor den kumuleret frekvens er større end eller lig med a. Middelværdi : Varians : Spredning :

5 Nogle graftyper til deskriptiv Statistik
Histogram til kontinuerte data Sumkurve vha. kumuleret frekvens Stolpediagram til ikke kontinuerte data XY-graf til beskrivelse af sammenhæng En del af ovenstående vil blive illustreret vha. SPSS: poisbin6indlagt henfald, soldaterhøjde.

6 Endeligt sandsynlighedsfelt
Definition Ved et endeligt sandsynlighedsfelt forstås parret (U,P), hvor 1) U = ,hvor n N. er en mængde . U kaldes udfaldsrummet og mængdens elementer for udfald. 2) 0 ≤ P(u)≤1 for alle u U . 3) = 1. P kaldes for sandsynlighedsfunktionen, og P(u) betegner sandsynligheden for udfaldet u. Såfremt P(u) = for alle u U, kaldes (U,P) et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

7 Definition En delmængde A af udfaldsrummet U kaldes en hændelse. Sandsynligheden for hændelsen A betegnes med P(A) og P(A) = Definition Lad A og B være to hændelser i et sandsynlighedsfelt (U,P), hvor P(B)>0. Den betingede sandsynlighed for A givet B er bestemt ved

8 Nogle nyttige formler:
Additionssætningen: Bayes’ formel: Eksempel: Apgartal

9 Et eksempel

10 Eksemplet fortsat P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(Moderen røg) = 10/30 = 33.3% P(Apgar < 7) = 11/30 = 36.7% P(Moderen røg og Apgar < 7) = 8/30 = 26.7% P(Apgar < 7| Moderen røg) = 26.7% / 33.3 % = 8/10 = 80.0%

11 Bayes’ formel P(Brun) = 35% P(Lus|Blond) = 20% P(Lus) = ???

12 Bayes’ formel fortsat P(Lus|Blond) = P(Lus ∩ Blond)/P(Blond)
P(Lus ∩ Blond) = P(Blond) P(Lus|Blond) = 0.4 · 0.2 = 8% P(Lus) = P(Lus ∩ Brun) + P(Lus ∩ Blond) + P(Lus ∩ Sort) + P(Lus ∩ Rød) = 0.12 · · · · 0.05 = 15.1%

13 Bayes’ formel fortsat P(Rød|Lus) = ???
P(Rød|Lus) = P(Lus ∩ Rød)/P(Lus) = 0.25 · 0.05/0.151 = 8.3%

14 Definition Lad der være givet et endeligt sandsynlighedsfelt (U,P). En funktion X af U ind i R kaldes en stokastisk variabel. Ved P(X = x) forstås sandsynligheden P(X = x) for x Vm(X) kaldes sandsynlighedsfordelingen for den stokastiske variabel X. Hvis Vm(X)= betegnes og for variansen af X. Kvadratroden af variansen kaldes for spredningen af X og betegnes s(X). for middelværdien af X

15 Kombinatorik Angiver antal måde man kan udtage
r elementer fra en mængde på n elementer uden hensyntagen til rækkefølgen. Den hypergeometriske fordeling: Fra en population på N elementer, hvoraf d er defekte, udtages en stikprøve på n elementer. Hvis X er antal defekte i stikprøven fås

16 Eksempel En population består af 30 æbler, hvoraf 5 er rådne. Der udtages en stikprøve på 4 æbler. Kaldes X for antal rådne æbler i stikprøven fås q 1 2 3 4 sum P(X=q) 0,462 0,420 0,110 0,009 0,000 1,000

17 Binomialfordelingen Et basiseksperiment beskrives af et udfaldsrum E med to udfald succes (s) og fiasko (f), dvs. E={s,f}, hvor P(s)=p og P(f)=1-p. Basiseksperimemtet gentages n gange uafhængigt af hinanden. Hvis X betegner antal succes i de n gentagelser gælder der Sætning: E(X)=np ; V(X)=np(1-p) Eks. 5 uafhængige kast med en terning. X er antal 6’ere. q 1 2 3 4 5 P(X=q) 0,402 0,462 0,161 0,032 0,003 0,000 Se også SPSS: poisBin6indlagte.sav

18 Generel teori Definition : σ-algebra
Lad Ω være en ikke-tom mængde. En mængde F af delmængder af Ω kaldes en σ-algebra på Ω hvis der gælder: 1. Ω F. 2. F er afsluttet over for komplementærmængdedannelse, : hvis A F, så er Ac F 3. F er afsluttet over for tællelige foreningsmængdedannelser, : hvis er en følge i F, så er foreningsmængden også i F.

19 Definition: Sandsynlighedsrum
Et sandsynlighedrum er et tripel (Ω,F,P) bestående af 1. et udfaldsrum Ω som er en ikke-tom mængde, 2. en σ-algebra F af delmængder af Ω, 3. Et sandsynlighedsmål på (Ω, F), dvs. en afbildning P : F → R som er positiv: P(A)≥0 for alle A i F, normeret: P(Ω=1, og σ-addit iv : hvis er en følge af parvis disjunkte hændelser fra F, så er Sætning Lad (Ω,F,P) være et sandsynlighedsrum. Der gælder at sandsynligheds- målet er monoton-kontinuert i den forstand at hvis man har en voksende følge i F , så er i F, og ; på samme måde hvis er en aftagende følge i F, så er i F og

20 Definition: Stokastisk variabel
En stokastisk variabel på (Ω,F,P) er en afbildning X af Ω ind i R med den egenskab at {X B} F for ethvert B B, hvor B den mindste σ-algebra på R som indeholder alle intervaller. ( En så- kaldt Borel-σ-algebra). Definition: Fordelingsfunktion Fordelingsfunktionen for en stokastisk variabel er funktionen F(x)=P(X≤x) Sætning Fordelingsfunktionen F for en stokastisk variabel X har følgende egenskaber: 1. Den er ikke-aftagende, dvs. hvis x≤y, så er F(x)≤F(y). og 3. Den er højrekontinuert, dvs. F(x+) = F(x) for alle x. 4. I ethvert punkt x gælder P(X = x) = F(x) − F(x−). 5. Et punkt x er et diskontinuitetspunkt for F hvis og kun hvis P(X = x) > 0.

21 Kontinuerte fordelinger
Definition: Tæthedsfunktion En sandsynlighedtæthedsfunktion på R er en integrabel funktion f : R→[0;∞[ hvor =1 Definition: Kontinuert fordeling En kontinuert sandsynlighedsfordeling er en sandsynlighedsfordeling som har en sandsynlighedstæthedsfunktion f : funktionen er fordelingsfunktionen for en kontinuert fordeling på R Definition : middelværdi ,varians og spredning Lad X være en stokastisk variabel med tæthedfunktion f(x) Middelværdi μ=E(X)= Varians σ2=E((X-μ)2)= Spredningen er σ

22 Normalfordelingen er det klassiske eksempel på en kontinuert
fordeling. Her er tæthedsfunktionen givet ved Middelværdien er μ og spredningen σ. Den stokastiske variabel med denne tæthedsfunktion siges at være N(μ, σ2) –fordelt. Den normalfordelte stokastiske variabel, som har middelværdi 0 og varians 1, kaldes sædvanligvis U, og den tilhørende tæt- hedsfunktion for φ , dvs. at Den tilsvarende fordelingsfunktion kaldes for φ, dvs. at

23 Der gælder følgende : Man kan derfor klare sig med kendskab til værdier af Ф, som er tabellagt indlagt i de fleste computersystemer. Undersøgelse af om et observationssæt kan betragtes som Normalfordelt: Apgar- fødselsvægt (SPSS) eller BMI – Geogear (SPSS)

24 Hvorfor er normalfordelingen interessent?
Ja, det er den, fordi gennemsnittet af næsten alle målinger tilnærmelsesvis er normalfordelt. Mere præcist, så gælder den centrale grænseværdisætning :

25 Nogle grænseværdier Hvis X er b(n,p)-fordelt og np → λ for n→ ∞ vil X tilnærmelsesvis være poisson-fordelt, Dvs. at Der gælder at E(X) = V(X) = λ Hvis X er b(n,p)-fordelt er X tilnærmelsesvis normalfordelt N(µ, σ2 ) for n→ ∞ , hvor µ = np og σ2 = np(1-p) .