Kap 2. Matematiske Hjælpemidler.

Præsentationer af emnet: "Kap 2. Matematiske Hjælpemidler."— Præsentationens transcript:

1 Kap 2. Matematiske Hjælpemidler.
Geofysik 312 = Geodæsi Kap 2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater. Efterår 2004. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

2 2.4 Kortprojektioner og Kort
Jorden er matematisk set en mangfoldighed. Om hver punkt en omegn, der ligger i Rn, n=2 eller 3 C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

3 Hvad er den inverse afbildning ?
Eksempel 2.10 God nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning ? C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

4 Reelt flere afbildninger:
Fra Jordoverfladen til ellipsoiden (X,Y,Z) -> (φ, λ, h=0) (eller H=0) Afbildning (kort) til planen af en omegn. Afbildning til kugle og derefter til plan C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

5 Konforme = lokale vinkeltro Arealtro
Kortenes egenskaber: Afstandstro Konforme = lokale vinkeltro Arealtro Ret linie i kortet svarer til vej med kortest afstand (geodætisk linie eller orthodrom) Ret linie svarer til rute med konstant kurs. (Loxodrom). Benyttes ved søkort. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

6 Parameterfremstilling + eksempel 2.4.2.
Parameterfemstilling: Meridianer og paralleller C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

7 Storcirkel – eksempel 2.4.3. Fra sfærisk trekant:
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

8 Øvelse 2.4.1. Paralleller er ikke storcirkler.
Kontroller at vi for azimuth 0 får en meridian og for azimuth 90 IKKE får en parallel. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

9 Sande retninger og afstande måles i R3
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

10 Cartesisk metrik i tangentplanerne.
Metrik på flade Cartesisk metrik i tangentplanerne. Ser vi bort fra eventuelle poler, så går der 2 parameterkurver gennem hvert punkt: Tangenterne er basisvektorer her. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

11 Eks. 2.4.4. Tangentplan for meridianer og paralleller
Tangenterne fås ved differentiation af parameterkurverne: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

12 Skalarprodukt af vektorer i Tangentplanen
Vektor: (a,b) = (a v1,b v2) Skalarprodukt af (a1,b1), (a2,b2): C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

13 Simpel kortprojektion:
Eksempel Simpel kortprojektion: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

14 Metrisk fundamentalform = Jakobi matrix
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

15 Norm, vinkler, areal, målestoksforhold
Basis-vektorernes længde: Vinkel mellem basis-vektorerne: Arealet: A = ef-g2 Målestoksforhold: Længde i rummet/ Længde som vektor i tangentplan C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

16 Kortprojektioners egenskaber:
Konform: Vinkler mellem tangentvektorer bevares punktvis Arealtro: Arealer udspændt mellem 2 vektorer målt i tangentplanen ef-g2=konstant. Afstandstro: afstande målt i tangentplanen bevares C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

17 Eksempel 2.4.6: Cylinderprojektion.
Afstandstro langs Ækvator X i kortet kun afhængig af, λ, Y kun funktion af φ f ukendt funktion: Basisvektorer: Fundamentalform: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

18 Konform cylinder-projektion:
For at vinklerne skal bevares punktvis så kræves Løsning: Isometrisk bredde: Søkort C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

19 Arealtro cylinderprojektion
Her kræves: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

20 Transvers cylinderprojektion.
Vi vil gerne tilpasse afbildningen til Danmark: Arealtro langs parallel i stedet for Ækvator. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

21 Transvers cylinderprojektion (II).
Formler udledes enten ved Drejning 90o eller ”ombytning” af længde og bredde. Hvis meridianen = 0o, så gælder med ny bredde φ’ og længde λ’: Så: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

22 Transvers cylinderprojektion (III)
Heraf: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

23 Generel kortprojektion:
Bredde og længde opfattes som funktion af både x og y. Så bliver parameterkurvernes tangentvektorer: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

24 Vi udregner Jakobi-matricens elementer.
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

25 Isometrisk bredde benyttes.
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

26 Jakobi matricens elementer med isometrisk bredde
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

27 Tangentvektorerne skal være lige store og skalarproduktet = 0
Konform afbildning Tangentvektorerne skal være lige store og skalarproduktet = 0 Så kan afbildningen og dens inverse udtrykkes som en kompleks potensrække C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

28 Røring langs en parellel Afstand fra toppunkt kun funktion of bredden
Kegleprojektion. Røring langs en parellel Afstand fra toppunkt kun funktion of bredden Medfører: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

29 Tangent-vektorerne udregnes:
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

30 Konform kegleprojektion:
Tangentvektorer lige store, Indre produkt = 0. Heraf: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

31 Fastlæggelse af målestoksforhold/skæring.
Konstanterne skal Bestemmes: Her for en røringsparallel C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

32 Kegleprojektion i grænsen:
Polar stereo-grafisk C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

33 Nulpunktsforskydning.
Et bestemt punkt på Jorden skal afbildes i (0,0). Kegleprojektion, så (0,0) svarer til bestemt bredde φ0 C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

34 Meridian-konvergens. Vi finder vinklen som vinklen mellem parameterkurven hvor x er konstant. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

35 Indre-produkt/norm. Merkator: γ=0 Transvers-Merkator: Giver:
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

36 Ellipsoidiske formler.
Meget lange. Se Ricardus+Adler, 1974. Alt implementeret i GMT C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

37 Skæve projektioner. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

38 Skæringer af projektioner.
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

39 GMT http://gmt.soest.hawaii.edu/
CYLINDRICAL PROJECTIONS: -Jclon0/lat0/scale (Cassini) -Jjlon0/scale (Miller) -Jmscale (Mercator - Greenwich and Equator as origin) -Jmlon0/lat0/scale (Mercator - Give meridian and standard paral- lel) -Joalon0/lat0/azimuth/scale (Oblique Mercator - point and azimuth) -Joblon0/lat0/lon1/lat1/scale (Oblique Mercator - two points) -Joclon0/lat0/lonp/latp/scale (Oblique Mercator - point and pole) -Jqlon0/scale (Equidistant Cylindrical Projection (Plate Car- ree)) -Jtlon0/scale (TM - Transverse Mercator, with Equator as y = 0) -Jtlon0/lat0/scale (TM - Transverse Mercator, set origin) -Juzone/scale (UTM - Universal Transverse Mercator) -Jylon0/lats/scale (Basic Cylindrical Projection) AZIMUTHAL PROJECTIONS: -Jalon0/lat0/scale (Lambert). -Jelon0/lat0/scale (Equidistant). -Jflon0/lat0/horizon/scale (Gnomonic). -Jglon0/lat0/scale (Orthographic). -Jslon0/lat0/[slat/]scale (General Stereographic) CONIC PROJECTIONS: -Jblon0/lat0/lat1/lat2/scale (Albers) -Jdlon0/lat0/lat1/lat2/scale (Equidistant) -Jllon0/lat0/lat1/lat2/scale (Lambert) MISCELLANEOUS PROJECTIONS: -Jhlon0/scale (Hammer) -Jilon0/scale (Sinusoidal) -Jk[f|s]lon0/scale (Eckert IV (f) and VI (s)) -Jnlon0/scale (Robinson) -Jrlon0/scale (Winkel Tripel) -Jvlon0/scale (Van der Grinten) -Jwlon0/scale (Mollweide) NON-GEOGRAPHICAL PROJECTIONS: -Jp[a]scale[/origin] (polar (theta,r) coordinates, optional a for azimuths and offset theta [0]) -Jxx-scale[l|ppow][/y-scale[l|ppow]] C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

40 Danske Kort 1: Topografiske Kort
UTM: Universal Transverse Merkator Konform Cylinderprojektion C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

41 Danske Kort 1: Topografiske Kort
UTM: Universal Transverse Merkator Opdelt i Zoner, -183o +zone*6o C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

42 2-cm kort http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img75.jpg
UTM Eksempler 2-cm kort Orø Zone-grænse Datum: Meridiankonvergens: C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

43 Nord-Grønland. UTM: http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img82.jpg
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

44 2 Transversale Cylinderprojektioner (+Bornholm)
Matrikelkort. Tilnærmet konform 2 Transversale Cylinderprojektioner (+Bornholm) Kugleformig jord svarende til krumningsradius for Hayford-ellipsoiden for Bredden φ=56o08’ for Jylland og φ=55o20’ for Sjælland Agri Baunehøj: Y= m, X= m Retning til Lysnet (Punkt): 24o31’14”.17 Målestoksfejl max 50 ppm for Jylland og 22 ppm for Sjælland. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

45 Matrikelkort System 34. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

46 Ret linie svarer til fast kurs, men svarer ikke til korteste afstand !
Søkort: Merkator. Med Decca kurver: Ret linie svarer til fast kurs, men svarer ikke til korteste afstand ! C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

47 Benytter polar-stereografisk med 2 skæringer
Fly-kort. Benytter polar-stereografisk med 2 skæringer C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

48 Andre projektioner i DK.
Polar-stereografisk: Polar-områder Færøerne: Bonnes projektion C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

49 Kortene bruger ellipsoider med forskellige Jordcentre:
Datum. Kortene bruger ellipsoider med forskellige Jordcentre: ED1950 (Topografiske kort) WGS84 (Nordgrønland, Flykort, GPS) Mange hundrede meter forskellige ! Højdesystemerne også forskellige, typisk 0.3 m, Evt. forårsaget af landhævning. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

50 Koordinatsystemerne realiseret ved fixpunkter..
C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

51 Punktbeskrivelser. C.C.Tscherning, University of Copenhagen,

52 Punkterne købes hos KMS
Valdemar: System 34 (Jylland, Sjælland, Bornholm) UTM Zone 32 eller 34 + Grønland Længde og bredde i ED1950 eller WGS84 (ETRS89) Man kan søge på punktnumre: Herred + Sogn + Lønenummer = Eller Trigonometrisk station: GI no C.C.Tscherning, University of Copenhagen,