Tangent og differentialkvotient

Præsentationer af emnet: "Tangent og differentialkvotient"— Præsentationens transcript:

1 Tangent og differentialkvotient
- det rimede Af Younes Peters Touati 2.x

2 Sekanter og tangenter En sekantlinie er en linie der går igennem to punkter på en graf. Vi antager at vi har en funktion f. Vi vælger et vilkårligt x i vores definitions- mængde og kalder dette for x0. Vores udgangspunkt er dermed punktet (x0,f(x0)). Herefter vælges et Δx, som lægges til vores x0. Vi får dermed endnu et punkt på grafen; (x0+Δx, f(x0+Δx)). Vi har altså punkterne P0: (x0 , f(x0)) og Px: (x0+ Δx , f(x0+ Δx)) Px P0 s Mellem punkterne er tegnet en sekant s. Bemærk at Px afhænger af hvilket Δx vi vælger, mens P0 hele tiden er det samme. Linien vil med andre ord altid gå igennem P0, mens dens hældning afhænger hvilket Δx og dermed Px vi vælger.

3 Animation med Sekanter
I det følgende er proceduren fra forrige side fulgt, og vi får dermed en række sekanter. Det er lavet så Δx bliver hele tiden bliver mindre. Bemærk at sekanterne nærmere sig den grønne stiplede linie, når Δx går mod 0. Denne stiplede linie er med andre ord grænselinie for sekanterne. Dette er hvad man forstår ved en tangent.

4 Definition af tangent Tangenten i (x0, f(x0)) er grænselinien for sekanterne gennem (x0, f(x0)) og (x0+ Δx , f(x0 + Δx)), når Δx Dvs.: αTangent = αSekant = =: f’(x0)

5 Differenskvotient For at definere begrebet differenskvotient vælger vi endnu engang et vilkårligt x, og kalder dette x0. Punktet P0 er så (x0,f(x0)). Et nyt punkt vælges ved at lægge Δx til x0. Således får vi endnu et punkt Px (x0 + Δx,f(x0+Δx)). Sekanten s udstrækkes mellem punkterne, hvilket er afbilledet nedenfor Px P0 s Sekantens hældningskoefficient er: Da denne brøk er kvotienten mellem to differenser kalder man den for en differenskvotient.

6 Differentialkvotient
Vi vil nu finde hældningen for tangenten t i P0 (idet vi forudsætter at en sådan eksisterer) fra foregående dias. Dette kan vi gøre ved at lade Δx gå mod 0: Dette, som er hældningskoefficienten for tangenten til funktionen f i punktet x0, kaldes differentialkvotienten i x0. Den skrives f’(x0) hvilket læses ”f mærke af x0”. En funktion er differentiabel i et punkt netop hvis differenskvotienten i punktet har en grænseværdi for Δx gående mod nul. Kun hvis dette gælder for samtlige punkter i en funktions definitionsmængde kaldes funktionen differentiabel.

7 Definition af differentialkvotient
En funktion f er differentiabel i x0 hvis det gælder at: Differentialkvotienten f’(x0) er tangentens hældningskoefficient i punktet (x0, f(x0)), eller væksthastigheden i punktet Netop hvis dette gælder for alle punkterne i f’s definitionsmængde kaldes f differentiabel.

8 Pressen skrev