Præsentation er lastning. Vent venligst

Præsentation er lastning. Vent venligst

Andengradsfunktionen

Lignende præsentationer


Præsentationer af emnet: "Andengradsfunktionen"— Præsentationens transcript:

1 Andengradsfunktionen
Parabel Forskrift og udseende Tegning af en parabel Løsning af andengradsligning

2 Andengradsfunktionen
Ved funktioner taler vi om…

3 Andengradsfunktionen
Ved funktioner taler vi om… Et navn for funktionen (hvad den hedder)

4 Andengradsfunktionen
Ved funktioner taler vi om… Et navn for funktionen (hvad den hedder) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …)

5 Andengradsfunktionen
Ved funktioner taler vi om… Et navn for funktionen (hvad den hedder) Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …)

6 Andengradsfunktionen
Ved funktioner taler vi om… Et navn for funktionen (hvad den hedder) Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …)

7 Andengradsfunktionen
Ved funktioner taler vi om… Andengradsfunktionen Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …)

8 Andengradsfunktionen
Ved funktioner taler vi om… Andengradsfunktionen Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) y = a·x2 + b·x + c

9 Andengradsfunktionen
Ved funktioner taler vi om… Andengradsfunktionen En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) y = a·x2 + b·x + c

10 Andengradsfunktionen
Ved funktioner taler vi om… Andengradsfunktionen Parabel En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) y = a·x2 + b·x + c

11 Andengradsfunktionen
Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en… parabel Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet:

12 Andengradsfunktionen
Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en… parabel Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet: Paraply

13 Andengradsfunktionen
Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en… parabel Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet: Paraply Parabol

14 Andengradsfunktionen
Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en… parabel Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet: Parachute (= faldskærm) Paraply Parabol

15 Andengradsfunktionen
Forskriften for en andengradsfunktion … af simpleste form er…: y = a·x2 , hvor a er en konstant ≠ 0

16 Andengradsfunktionen
Forskriften for en andengradsfunktion … af simpleste form er…: y = a·x2 , hvor a er en konstant ≠ 0 f.eks.: y = 1·x2, y = ·x2 eller y = -2·x2 1 2

17 Andengradsfunktionen
Eksempel: y = 1·x2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 -1 -2 -3

18 Andengradsfunktionen
Eksempel: y = 1·x2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 -1 -2 -3 1

19 Andengradsfunktionen
Eksempel: y = 1·x2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 4

20 Andengradsfunktionen
Eksempel: y = 1·x2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 4 9

21 Andengradsfunktionen
Eksempel: y = 1·x2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 4 9

22 Andengradsfunktionen
Eksempel: y = 1·x2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 4 9 1

23 Andengradsfunktionen
Eksempel: y = 1·x2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 4 9 1 4

24 Andengradsfunktionen
Eksempel: y = 1·x2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 4 9 1 4 9

25 Andengradsfunktionen
Eksempel: y = 1·x2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 4 9 1 4 9

26 Betydningen af værdien a i funktionsforskriften:
Andengradsfunktionen Betydningen af værdien a i funktionsforskriften: y = a·x2 + b·x + c

27 Andengradsfunktionen
Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x2

28 Andengradsfunktionen
Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel.

29 Andengradsfunktionen
Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel. Parabelen har 2 grene

30 Andengradsfunktionen
Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel. Parabelen har 2 grene – og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene.

31 Andengradsfunktionen
Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel. Parabelen har 2 grene – og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene. Punktet, hvor grenene starter, kaldes toppunktet.

32 Andengradsfunktionen
Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel. Parabelen har 2 grene – og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene. Punktet, hvor grenene starter, kaldes toppunktet. Grenene vender opad, fordi ”a” er et positivt tal (a = 1)

33 Andengradsfunktionen
Men hvad nu, hvis a≠1? y = a·x2 y = 1·x2

34 Andengradsfunktionen
Men hvad nu, hvis a≠1? y = a·x2 y = 1·x2 y = 2·x2

35 Andengradsfunktionen
Men hvad nu, hvis a≠1? y = a·x2 y = 1·x2 y = 2·x2 y = ·x2 1 2

36 Andengradsfunktionen
Men hvad nu, hvis a≠1? y = a·x2 y = 1·x2 y = 2·x2 y = ·x2 1 2 1 4

37 Andengradsfunktionen
Men hvad nu, hvis a≠1? y = a·x2 y = 1·x2 y = 2·x2 y = ·x2 1 2 Bemærk, at … jo større værdi ”a” har, desto stejlere bliver parablen (desto mere ”slås paraplyen sammen”) … jo mindre værdi ”a” har, desto fladere bliver parablen (og får udseende som en parabol) 1 4

38 Andengradsfunktionen
Og hvis a er negativ? y = a·x2

39 Andengradsfunktionen
Og hvis a er negativ? y = a·x2 y = -1·x2

40 Andengradsfunktionen
Og hvis a er negativ? y = a·x2 y = -1·x2 y = -2·x2

41 Andengradsfunktionen
Og hvis a er negativ? y = a·x2 y = -1·x2 y = -2·x2 y = - ·x2 1 3

42 Andengradsfunktionen
Og hvis a er negativ? y = a·x2 y = -1·x2 y = -2·x2 y = - ·x2 1 3 1 8

43 Andengradsfunktionen
Og hvis a er negativ? y = a·x2 y = -1·x2 y = -2·x2 y = - ·x2 Bemærk, at … når ”a” er et negativt tal, så vender grenene nedad! (parablen er ked af, at det er negativt; mundvigene nedad!) … og når ”a” er et positivt tal, så vender grenene opad! (parablen er glad for, at det er positivt; mundvigene opad!) 1 3 1 8

44 Andengradsfunktionen
Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0,0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet. Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen: y = a·x2 + b·x + c

45 Andengradsfunktionen
Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0,0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet. Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen: Glade parabler y = a·x2 + b·x + c

46 Andengradsfunktionen
Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0,0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet. Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen: y = a·x2 + b·x + c Sure parabler

47 Andengradsfunktionen
Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0,0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet. Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen: y = a·x2 + b·x + c Værdierne b og c har betydning for, hvor parablen ligger i koordinatsystemet. Man kan sige, at disse to værdier parallelforskyder parablens toppunkt (og dermed også parablen) hen på en anden plads.

48 Betydningen af værdien c i funktionsforskriften:
Andengradsfunktionen Betydningen af værdien c i funktionsforskriften: y = a·x2 + b·x + c

49 Andengradsfunktionen
Betydningen af c-værdien c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c). Eksempler:

50 Andengradsfunktionen
Betydningen af c-værdien c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c). Eksempler: y = ·x2 + 2·x + 0 1 2

51 Andengradsfunktionen
Betydningen af c-værdien c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c). Eksempler: y = ·x2 + 2·x + 0 1 2 Skærer i (0,0), da c = 0

52 Andengradsfunktionen
Betydningen af c-værdien c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c). Eksempler: y = ·x2 + 2·x + 0 y = 1·x2 - 2·x – 3 1 2

53 Andengradsfunktionen
Betydningen af c-værdien c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c). Eksempler: y = ·x2 + 2·x + 0 y = 1·x2 - 2·x – 3 1 2 Skærer i (0,-3), da c = -3

54 Andengradsfunktionen
Betydningen af c-værdien c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c). Eksempler: y = ·x2 + 2·x + 0 y = 1·x2 - 2·x – 3 y = -1·x2 + 2·x + 4 1 2

55 Andengradsfunktionen
Betydningen af c-værdien c-værdien fortæller, hvor parablen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0,c). Eksempler: y = ·x2 + 2·x + 0 y = 1·x2 - 2·x – 3 y = -1·x2 + 2·x + 4 Skærer i (0,4), da c = 4 1 2

56 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) for en parabel

57 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen:

58 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a

59 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = -b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0

60 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = -b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x =

61 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = - b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x = -

62 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = - b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x = - 2

63 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = - b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x = - 2

64 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = - b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x = - 2 1 2

65 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = -b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x = - 2 1 2

66 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = -b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x = - 2 -2 1 = 1 2

67 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = -b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x = - 2 -2 1 = = -2 1 2

68 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 1: x = -b 2·a 1 2 y = ·x2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: Altså: Symmetriaksen er -2 eller x = -2 x = -2 -2 1 = = -2 1 2

69 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 2: x = -b 2·a y = 1·x2 - 2·x - 3 har symmetriaksen: x =

70 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 2: x = -b 2·a y = 1·x2 - 2·x - 3 har symmetriaksen: -(-2) 2 x = = = 1 2·1 2

71 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 2: x = -b 2·a y = 1·x2 - 2·x - 3 har symmetriaksen: -(-2) 2 x = = = 1 2·1 2

72 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 3: x = -b 2·a y = -1·x2 + 2·x + 4 har symmetriaksen: x =

73 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 3: x = -b 2·a y = -1·x2 + 2·x + 4 har symmetriaksen: -2 -2 x = = = 1 2·(-1) -2

74 Andengradsfunktionen
Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: Eksempel 3: x = -b 2·a y = -1·x2 + 2·x + 4 har symmetriaksen: -2 -2 x = = = 1 2·(-1) -2

75 Diskriminanten for en andengradsfunktion
Andengradsfunktionen Diskriminanten for en andengradsfunktion

76 Andengradsfunktionen
Diskriminanten y = a·x2 + b·x + c

77 Andengradsfunktionen
Diskriminanten For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet. y = a·x2 + b·x + c

78 Andengradsfunktionen
Diskriminanten For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet. - og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpe- værdi” kaldet Diskriminanten. y = a·x2 + b·x + c

79 Andengradsfunktionen
Diskriminanten For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet. - og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpe- værdi” kaldet Diskriminanten. Diskriminanten er en værdi, der endvidere skal beregnes, for at vi senere kan finde de punkter, hvor parablen skærer x-aksen. y = a·x2 + b·x + c

80 Andengradsfunktionen
Diskriminanten For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet. - og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpe- værdi” kaldet Diskriminanten. Diskriminanten er en værdi, der endvidere skal beregnes, for at vi senere kan finde de punkter, hvor parablen skærer x-aksen. Alt i alt er diskriminanten altså en meget vigtig brik i arbejdet med andengradsfunktioner/parabler. y = a·x2 + b·x + c

81 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b2 - 4·a·c y = a·x2 + b·x + c

82 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b2 - 4·a·c Her er det meget vigtigt at have styr på regneregler og fortegn, for ellers får man hurtigt en forkert værdi af diskriminanten – og dermed også et forkert toppunkt! y = a·x2 + b·x + c

83 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b2 - 4·a·c y = a·x2 + b·x + c

84 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b2 - 4·a·c Udregningen består af 2 led, som du bør udregne hver for sig: y = a·x2 + b·x + c

85 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b2 - 4·a·c Første led, b2, giver altid et positivt tal. y = a·x2 + b·x + c

86 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b2 - 4·a·c Andet led, -4·a·c, vil være et negativt tal, hvis a og c har ens fortegn. Hvis a og c har forskellige fortegn, vil det andet led blive et positivt tal. y = a·x2 + b·x + c

87 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b2 - 4·a·c Lad os nu se på et par eksempler… y = a·x2 + b·x + c

88 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 y = a·x2 + b·x + c

89 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = b2 – 4 · a · c y = a·x2 + b·x + c

90 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = b2 y = a·x2 + b·x + c

91 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 22 Tallet +2 indsættes i stedet for b y = a·x2 + b·x + c

92 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 22 – 4 · Værdien – 4 · overføres fra formlen y = a·x2 + b·x + c

93 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 22 – 4 · a y = a·x2 + b·x + c

94 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 22 – 4 · (-1) Tallet –1 indsættes i stedet for a y = a·x2 + b·x + c

95 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 22 – 4 · (-1) · Gangetegnet overføres fra formlen y = a·x2 + b·x + c

96 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 22 – 4 · (-1) · c y = a·x2 + b·x + c

97 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 22 – 4 · (-1) · 4 Tallet 4 indsættes i stedet for c y = a·x2 + b·x + c

98 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 22 – 4 · (-1) · 4 y = a·x2 + b·x + c

99 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 22 – 4 · (-1) · 4 22 = 4 y = a·x2 + b·x + c

100 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 4 – 4 · (-1) · 4 22 = 4 y = a·x2 + b·x + c

101 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = 4 – 4 · (-1) · 4 – 4 · (-1) · 4 = + 16 y = a·x2 + b·x + c

102 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = – 4 · (-1) · 4 = + 16 y = a·x2 + b·x + c

103 Andengradsfunktionen
Diskriminanten Eksempel på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c Find diskriminanten i funktionen: 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = = 20 y = a·x2 + b·x + c

104 Andengradsfunktionen
Diskriminanten y = a·x2 + b·x + c Eksempler på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = ·(-1)·4 = = 20

105 Andengradsfunktionen
Diskriminanten y = a·x2 + b·x + c Eksempler på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = ·(-1)·4 = = 20 2: y = 1·x2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4·1·1 = 4 – 4 = 0

106 Andengradsfunktionen
Diskriminanten y = a·x2 + b·x + c Eksempler på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = ·(-1)·4 = = 20 2: y = 1·x2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4·1·1 = 4 – 4 = 0 3: y = ·x2 - 4·x + 5 D = (-4)2 - 4· ·5 = 16 – 10 = 6 1 2 1 2

107 Andengradsfunktionen
Diskriminanten y = a·x2 + b·x + c Eksempler på udregning af diskriminanten: D = b2 - 4·a·c 1: y = -1·x2 + 2·x + 4 D = ·(-1)·4 = = 20 2: y = 1·x2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4·1·1 = 4 – 4 = 0 3: y = ·x2 - 4·x + 5 D = (-4)2 - 4· ·5 = 16 – 10 = 6 4: y = -3·x2 + 6·x – 4 D = ·(-3)·(-4) = 36 – 48 = -12 1 2 1 2

108 Toppunktet for en parabel
Andengradsfunktionen Toppunktet for en parabel

109 Andengradsfunktionen
Toppunktet Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” y = a·x2 + b·x + c

110 Andengradsfunktionen
Toppunktet Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”). y = a·x2 + b·x + c

111 Andengradsfunktionen
Toppunktet Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”). Det er altså et unikt sted på parablen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”. y = a·x2 + b·x + c

112 Andengradsfunktionen
Toppunktet Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”). Det er altså et unikt sted på parablen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”. Kender man toppunktet, kan man nemt tegne hele parablen – uden at skulle udfylde et sildeben med en masse beregninger. y = a·x2 + b·x + c

113 Andengradsfunktionen
Toppunktet Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”). Det er altså et unikt sted på parablen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”. Kender man toppunktet, kan man nemt tegne hele parablen – uden at skulle udfylde et sildeben med en masse beregninger. Bemærk, at toppunktet ligger på parablens symmetriakse! y = a·x2 + b·x + c

114 Andengradsfunktionen
Toppunktet Toppunktet er et punkt, der findes af følgende regneudtryk: Tp = ( , ) -b 2·a -D 4·a y = a·x2 + b·x + c

115 Andengradsfunktionen
Toppunktet Toppunktet er et punkt, der findes af følgende regneudtryk: Tp = ( , ) For at finde toppunktet, skal man altså først beregne D, diskriminanten! Men derefter er det blot at have styr på regnereglerne (endnu engang!) -b 2·a -D 4·a y = a·x2 + b·x + c

116 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20)

117 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20) -b -D Tp = ( , ) 2·a 4·a

118 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20) -b -D -2 -20 Tp = ( , ) = ( , ) 2·a 4·a 2·(-1) 4·(-1)

119 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20) -b -D -2 -20 -2 -20 Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) 2·a 4·a 2·(-1) 4·(-1) -2 -4

120 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20) -b -D -2 -20 -2 -20 Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,5) 2·a 4·a 2·(-1) 4·(-1) -2 -4

121 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x2 + 2·x + 4 (D = 20) Tp = (1,5) -b -D -2 -20 -2 -20 Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,5) 2·a 4·a 2·(-1) 4·(-1) -2 -4

122 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Udregning af toppunkt: y = 1·x2 – 2·x + 1 (D = 0)

123 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Udregning af toppunkt: y = 1·x2 – 2·x + 1 (D = 0) Tp =(1,0) -b -D -(-2) 2 Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,0) 2·a 4·a 2·1 4·1 2 4

124 Andengradsfunktionen
Eksempel 3: Udregning af toppunkt: y = ·x2 – 4·x + 5 (D = 6) 1 2

125 Andengradsfunktionen
Eksempel 3: Udregning af toppunkt: y = ·x2 – 4·x + 5 (D = 6) Tp = (4,-3) 1 2 -b -D -(-4) -6 4 -6 Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (4,-3) 2·a 4·a 1 2 1 2 1 2

126 Andengradsfunktionen
Eksempel 4: Udregning af toppunkt: y = -3·x2 + 6·x – 4 (D = -12)

127 Andengradsfunktionen
Eksempel 4: Udregning af toppunkt: y = -3·x2 + 6·x – 4 (D = -12) Tp = (1,-1) -b -D -6 12 -6 12 Tp = ( , ) = ( , ) = ( , ) = (1,-1) 2·a 4·a 2·(-3) 4·(-3) -6 -12

128 Tegning af en parabel med kendt toppunkt
Andengradsfunktionen Tegning af en parabel med kendt toppunkt

129 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Andengradsfunktion:

130 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Andengradsfunktion:

131 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Andengradsfunktion: Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a.

132 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0,b). Andengradsfunktion: Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a.

133 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0,b). Andengradsfunktion: Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a. Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet.

134 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0,b). Linien tegnes ved at starte i dette punkt og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og hældnings-koefficienten, a, op. Andengradsfunktion: Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a. Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet.

135 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0,b). Linien tegnes ved at starte i dette punkt og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og hældnings-koefficienten, a, op. Andengradsfunktion: Når man kender et bestemt punkt på parablen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a. Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet. Parablen tegnes ved at starte i toppunktet og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og a ganget med de ulige tal (1, 3, 5, 7, 9,…) op.

136 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel Kvadrattallene: De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Og da alle parabler blot er parallelforskydninger af den simple grundparabel, y = a·x2, tegnes de alle på samme måde. Som tidligere set, er værdien af a i virkeligheden det eneste, der giver variation i dens udseende (Grenene op eller ned, grenene stejle eller meget flade.) 1 4 9 16 25 36 49

137 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel Kvadrattallene: De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. 1 4 9 16 25 36 49 Stiger med: 1

138 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel Kvadrattallene: De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. 1 4 9 16 25 36 49 Stiger med: 1 3

139 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel Kvadrattallene: De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. 1 4 9 16 25 36 49 Stiger med: 1 3 5

140 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel Kvadrattallene: De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. 1 4 9 16 25 36 49 Stiger med: 1 3 5 7

141 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel Kvadrattallene: De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. 1 4 9 16 25 36 49 Stiger med: 1 3 5 7 9

142 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel Kvadrattallene: De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. 1 4 9 16 25 36 49 Stiger med: 1 3 5 7 9 11

143 Andengradsfunktionen
Tegning af en parabel Kvadrattallene: De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. 1 4 9 16 25 36 49 Stiger med: 1 3 5 7 9 11 13

144 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x2 + 4·x + 4 Tp = (-2,0)

145 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x2 + 4·x + 4 Tp = (-2,0) … herefter 1 ud og 1·1 = 1 op

146 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x2 + 4·x + 4 Tp = (-2,0) … herefter 1 ud og 1·1 = 1 op … herefter 1 ud og 1·3 = 3 op

147 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x2 + 4·x + 4 Tp = (-2,0) … herefter 1 ud og 1·1 = 1 op … herefter 1 ud og 1·3 = 3 op … herefter 1 ud og 1·5 = 5 op

148 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x2 + 4·x + 4 Tp = (-2,0) … herefter 1 ud og 1·1 = 1 op … herefter 1 ud og 1·3 = 3 op … herefter 1 ud og 1·5 = 5 op … og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

149 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x2 + 4·x + 4 Tp = (-2,0) … herefter 1 ud og 1·1 = 1 op … herefter 1 ud og 1·3 = 3 op … herefter 1 ud og 1·5 = 5 op … og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

150 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x2 + 4·x + 4 Tp = (-2,0) … herefter 1 ud og 1·1 = 1 op … herefter 1 ud og 1·3 = 3 op … herefter 1 ud og 1·5 = 5 op … og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen og parablen kan tegnes.

151 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x2 + 8·x + 1 Tp = (2,9)

152 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x2 + 8·x + 1 Tp = (2,9) … herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned

153 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x2 + 8·x + 1 Tp = (2,9) … herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned … herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned

154 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x2 + 8·x + 1 Tp = (2,9) … herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned … herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned … og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

155 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x2 + 8·x + 1 Tp = (2,9) … herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned … herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned … og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

156 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x2 + 8·x + 1 Tp = (2,9) … herefter 1 ud og 2·1 = 2 ned … herefter 1 ud og 2·3 = 6 ned … og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen og parablen kan tegnes.

157 Parablens skæring med x-aksen = løsning af en andengradsligning
Andengradsfunktionen Parablens skæring med x-aksen = løsning af en andengradsligning

158 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen En parabel kan skære x-aksen 2 gange

159 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen En parabel kan skære x-aksen 2 gange

160 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen)

161 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen)

162 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre.

163 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre. Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen: Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer

164 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre. Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen: Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer Hvis D=0, så er der 1 skæring

165 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen En parabel kan skære x-aksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre. Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen: Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer Hvis D=0, så er der 1 skæring, og Hvis D<0 (negativ), så er der 0 skæringer

166 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen: x = -b ±√D 2·a Som det ses…

167 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen: x = -b ±√D 2·a Som det ses… … skal vi igen bruge D, diskriminanten!

168 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen: x = -b ±√D 2·a Som det ses… … skal vi igen bruge D, diskriminanten! … indgår formlen for symmetriaksen i udtrykket

169 Andengradsfunktionen
Skæring med x-aksen For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen: x = -b ±√D 2·a Som det ses… … skal vi igen bruge D, diskriminanten! … indgår formlen for symmetriaksen i udtrykket … vil skæringspunkterne lægge sig lige langt fra symmetriaksen (tegnet ± betyder plus/minus)

170 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16)

171 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16) -b ±√D 2·a x =

172 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16) -b ±√D 2·a = -4 ±√16 2·2 x =

173 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16) -b ±√D 2·a = -4 ±√16 2·2 -4 ± 4 x = = 4

174 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16) + -b ±√D 2·a = -4 ±√16 2·2 -4 ± 4 x = = = 4 -

175 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16) + -4 + 4 -b ±√D 2·a = -4 ±√16 2·2 4 -4 ± 4 x = = = 4 -

176 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16) + -4 + 4 -b ±√D 2·a = -4 ±√16 2·2 4 -4 ± 4 x = = = 4 -4 – 4 4 -

177 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16) + -4 + 4 = 0 -b ±√D 2·a = -4 ±√16 2·2 4 -4 ± 4 x = = = 4 -4 – 4 = -2 4 -

178 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x2 + 4·x + 0 (D = 16) + -4 + 4 = 0 -b ±√D 2·a = -4 ±√16 2·2 4 -4 ± 4 x = = = 4 -4 – 4 = -2 4 -

179 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = - ·x2 + 1·x + 4 (D = 9) 1 2

180 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = - ·x2 + 1·x + 4 (D = 9) 1 2 + -1 + 3 = -2 -b ±√D 2·a -1 ±√9 -1 -1 ± 3 x = = = = 2·(- ) 1 2 -1 -1 – 3 = 4 -1 -

181 Andengradsfunktionen
Eksempel 3: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 1·x2 – 4·x + 3 (D = 4)

182 Andengradsfunktionen
Eksempel 3: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 1·x2 – 4·x + 3 (D = 4) + 4 + 2 = 3 -b ±√D 2·a +4 ±√4 2 4 ± 2 x = = = = 2·1 2 4 – 2 = 1 2 -

183 Andengradsfunktionen
Når man finder skæringspunktet mellem en parabel (y = a·x2 + b·x + c) og x-aksen (y = 0), finder man altså ud af, hvor parablen = 0: Parablen = x-aksen Parablen = 0 a·x2 + b·x + c = 0 Man kan se, at der er tale om en ligning, da der indgår 2 regneudtryk med et lighedstegn imellem. Da x2 indgår i ligningen, taler vi om at løse en andengradsligning.

184 Andengradsfunktionen/parablen angivet ved nulpunkterne
Et alternativ: Andengradsfunktionen/parablen angivet ved nulpunkterne

185 Andengradsfunktionen
Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne.

186 Andengradsfunktionen
Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne. Med nulpunkterne forstås de steder, hvor andengradsfunktionen bliver ”0”, y = a·x2 + b·x + c = 0, altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0)

187 Andengradsfunktionen
Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne. Med nulpunkterne forstås de steder, hvor andengradsfunktionen bliver ”0”, y = a·x2 + b·x + c = 0, altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0) Parablens nulpunkter

188 Nulpunkterne kaldes ofte x1 og x2
Andengradsfunktionen Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne. Med nulpunkterne forstås de steder, hvor andengradsfunktionen bliver ”0”, y = a·x2 + b·x + c = 0, altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0) x1 x2 Nulpunkterne kaldes ofte x1 og x2

189 Andengradsfunktionen
Man kan sagtens komme ud for, at andengradsfunktionen ikke opgives på den sædvanlige måde: y = a·x2 + b·x + c, men i stedet ved hjælp af nulpunkterne. Med nulpunkterne forstås de steder, hvor andengradsfunktionen bliver ”0”, y = a·x2 + b·x + c = 0, altså netop der, hvor parablen skærer x-aksen (y = 0). Skrevet ved hjælp af nulpunkterne ser det andengradsfunktionen således ud: y = a·(x – x1)·(x – x2), hvor x1 og x2 er nulpunkterne x1 x2

190 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = 2·(x – 1)·(x – 4),

191 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = 2·(x – 1)·(x – 4), der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4 x1 x2

192 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = 2·(x – 1)·(x – 4), der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4 Udtrykket kan omskrives

193 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = 2·(x – 1)·(x – 4), der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4 Udtrykket kan omskrives y = 2·(x – 1)·(x – 4)

194 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = 2·(x – 1)·(x – 4), der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4 Udtrykket kan omskrives y = 2·(x – 1)·(x – 4)  y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)

195 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = 2·(x – 1)·(x – 4), der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4 Udtrykket kan omskrives y = 2·(x – 1)·(x – 4)  y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)  y = 2·x2 – 10·x + 8

196 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = 2·(x – 1)·(x – 4), der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4 Udtrykket kan omskrives y = 2·(x – 1)·(x – 4)  y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)  y = 2·x2 – 10·x + 8 og vi har nu noget, vi kender!

197 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = 2·(x – 1)·(x – 4), der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4 Udtrykket kan omskrives y = 2·(x – 1)·(x – 4)  y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)  y = 2·x2 – 10·x + 8 og vi har nu noget, vi kender! Toppunktet bliver (2 , –4 ) 1 2 1 2

198 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = 2·(x – 1)·(x – 4), der skærer x-aksen i (0,1) og i (0,4), da x1 = 1 og x2 = 4 Udtrykket kan omskrives y = 2·(x – 1)·(x – 4)  y = 2·(x2 – 4·x – 1·x + 4)  y = 2·x2 – 10·x + 8 og vi har nu noget, vi kender! Toppunktet bliver (2 , –4 ), og parablen får følgende udseende 1 2 1 2

199 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: y = –1·(x + 1)·(x – 5),

200 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: y = –1·(x + 1)·(x – 5), der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5 x1 x2

201 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: y = –1·(x + 1)·(x – 5), der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5 Udtrykket kan omskrives

202 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: y = –1·(x + 1)·(x – 5), der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5 Udtrykket kan omskrives y = –1·(x + 1)·(x – 5)

203 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: y = –1·(x + 1)·(x – 5), der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5 Udtrykket kan omskrives y = –1·(x + 1)·(x – 5)  y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)

204 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: y = –1·(x + 1)·(x – 5), der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5 Udtrykket kan omskrives y = –1·(x + 1)·(x – 5)  y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)  y = –1·x2 + 4·x + 5

205 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: y = –1·(x + 1)·(x – 5), der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5 Udtrykket kan omskrives y = –1·(x + 1)·(x – 5)  y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)  y = –1·x2 + 4·x + 5 og vi har nu noget, vi kender!

206 Andengradsfunktionen
Eksempel 2: y = –1·(x + 1)·(x – 5), der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5 Udtrykket kan omskrives y = –1·(x + 1)·(x – 5)  y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)  y = –1·x2 + 4·x + 5 og vi har nu noget, vi kender! Toppunktet bliver (2,9) kender!

207 Andengradsfunktionen
Eksempel 1: y = –1·(x + 1)·(x – 5), der skærer x-aksen i (0,–1) og i (0,5), da x1 = –1 og x2 = 5 Udtrykket kan omskrives y = –1·(x + 1)·(x – 5)  y = –1·(x2 – 5·x + 1·x – 5)  y = –1·x2 + 4·x + 5 og vi har nu noget, vi kender! Toppunktet bliver (2,9), og parablen får følgende udseende

208 Et par eksempler på brug af andengradsfunktionen
og parablen

209 Andengradsfunktionen
1. Broer, akvadukter mm.

210 Andengradsfunktionen
2. Kast, stød og skud fra sportens verden

211 Andengradsfunktionen
2. Kast, stød og skud fra sportens verden

212 Andengradsfunktionen
3. Vandstråle i springvand mm.

213 Andengradsfunktionen
4. Moderne bygningsværker

214 Parablen andengradsfunktionen
D = b2 - 4·a·c -b -D Tp = ( , ) 2·a 4·a Parablen andengradsfunktionen -b ±√D 2·a x =


Download ppt "Andengradsfunktionen"

Lignende præsentationer


Annoncer fra Google