Præsentation er lastning. Vent venligst

Præsentation er lastning. Vent venligst

FEN 2013-01-29Relationer1 En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b),

Lignende præsentationer


Præsentationer af emnet: "FEN 2013-01-29Relationer1 En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b),"— Præsentationens transcript:

1 FEN 2013-01-29Relationer1 En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b), hvor der til ethvert a  A eksisterer netop ét b  B, så f(a) = b. Dvs. f er en delmængde af A  B, som opfylder ovenstående begrænsning Denne definition kan generaliseres ved at fjerne begrænsningen og lade et element i A være relateret til 0 eller flere elementer i B og omvendt

2 FEN 2013-01-29Relationer2 Definition af relationer •En relation R mellem mængderne A og B er en delmængde af A  B: R  A  B = {(a, b)  A  B  a  A  b  B} •Ofte kikker vi på relationer, hvor A = B og så taler vi om en relation på A

3 FEN 2013-01-29Relationer3 Eksempler •a = b, hvor a  A  b  A: –’=’ er en relation på A og vi kan skrive –”(a, b)  =” i stedet for ”a = b” •Generelt kan vi skrive –aRb i stedet for (a, b)  R for en relation R på A.

4 Relationer og grafer •En relation kan repræsenteres med en orienteret graf (digraph: directed graph). •Fx: A = {1, 2, 3, 4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,4),(4,1)} FEN 2013-01-29Relationer4

5 FEN 2013-01-29Relationer5 Ækvivalensrelationer •En relation R på en mængde A er en ækvivalensrelation, hvis den er: 1.Refleksiv:  a  A (aRa) 2.Symmetrisk:  a, b  A (aRb  bRa) 3.Transitiv:  a, b, c  A ((aRb  bRc)  aRc)

6 FEN 2013-01-29Relationer6 Øvelse (5 min.) Undersøg, hvilke af følgende relationer på de naturlige tal N: a)=b) >c)  Der er a)Refleksive b)Symmetriske c)Transitive

7 Øvelse •Og den her: –Refleksiv? –Symmetrisk? –Transitiv? A = {1, 2, 3, 4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,4),(4,1)} FEN 2013-01-29Relationer7

8 FEN 2013-01-29Relationer8 Eksempel: kongruensrelation på de naturlige tal •Lad relationen ’  4 ’ være defineret ved: a  4 b, hvis a-b er et multiplum af 4, hvor a  {0, 1, 2, 3} eller præcist: (a  4 b)  def (  k  Z: (a - b)= k  4) •Fx er {0, 4, 8, 12, 16, …} kongruente (modulus 4) •Er  4 en ækvivalensrelation? –Refleksiv? –Symmetrisk? –Transitiv? Læses: Kongruent modulus 4

9 FEN 2013-01-29Relationer9 Klassedelinger (eng.: partition) •En klassedeling S 1, S 2,…, S n af en mængde A er en samling af parvis disjunkte delmængder af A, hvis foreningsmængde er lig med A: A= (  i| 1  i  n: S i ) hvor S i  A og S i  S j = Ø for alle 1  i, j  n

10 FEN 2013-01-29Relationer10 Klassedelinger og ækvivalensrelationer •En klassedeling af en mængde A definerer en ækvivalensrelation E på A, idet vi kan definere E: aEb  ”a og b tilhører samme klasse” Bevis: Først vises, at E er en ækvivalensrelation: 1) Refleksive? 2) Symmetrisk? 3) Transitiv? (Tænk på klasserne som ”spande”)

11 FEN 2013-01-29Relationer11 Bevis – fortsat Nu skal vi vise, at en ækvivalensrelation definerer en klassedeling: •Lad [a] E betegne {x  A  xEa}, vi kalder [a] E ækvivalensklassen indeholdende a •Vi skal nu vise, at mængderne [a] E for a  A er en klassedeling, dvs. 1.at foreningsmængden af alle ækvivalensklasserne er lig med A 2.at ækvivalensklasserne er parvis disjunkte Ad 1: Vi skal vise, at ethvert element i A tilhører én af ækvivalensklasserne. Følger trivielt af definitionen af [a] E Ad 2: Øvelse (se Martin, s. 17)

12 FEN 2013-01-29Relationer12 Relationer mellem n>2 mængder •En relation kan også defineres mellem mere end én eller to mængder: Givet mængder A 1, A 2, …, A n. En relation mellem disse er da defineret som en delmængde af det kartetiske produkt mellem disse: R  A 1  A 2  …  A n eller R  {(a 1, a 2, …,a n )  a 1  A 1  a 2  A 2  …  a n  A n } •En relation mellem n mængder er en mængde af n-tupler (et ordnet par er en 2-tuple, så en n-tuple er et ordnet ”par” med n elementer)

13 FEN 2013-01-29Relationer13 Databaser som relationer •En databasetabel kan ses, som en relation mellem de domæner, som tabellen er defineret over: •Hermed kan en database opfattes som en mængde af relationer, hvor en relation er en mængde af tupler.

14 FEN 2013-01-29Relationer14 Egenskaber ved relationer: Følger af, at en relation er en mængde i matematisk forstand: –der ingen tuple, som optræder mere end en gang ( => der eksisterer altid en primærnøgle) –tuplerne er uordnede (vertikalt) –attributterne er uordnede (horisontalt) BEMÆRK FORSKELLE TIL TABELLER Afhænger af den præcise definition af mængdeprodukt

15 FEN 2013-01-29Relationer15 Fordele •Relationsdatabaser er baseret på en solid matematisk teori, hvilket muliggør, at man ræsonnere formelt om relationsdatabaser: –Forespørgselssprog (relationsalgebra/prædikatslogik). –Query-optimering (vise ækvivalens mellem forskellige forespørgsler). –Normalisering (redundans undgås, og integritet kan sikres). –Automatiske værktøjer. –Mmm.


Download ppt "FEN 2013-01-29Relationer1 En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b),"

Lignende præsentationer


Annoncer fra Google