Præsentation er lastning. Vent venligst

Præsentation er lastning. Vent venligst

FEN 2013-01-29Relationer1 En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b),

Lignende præsentationer


Præsentationer af emnet: "FEN 2013-01-29Relationer1 En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b),"— Præsentationens transcript:

1 FEN Relationer1 En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b), hvor der til ethvert a  A eksisterer netop ét b  B, så f(a) = b. Dvs. f er en delmængde af A  B, som opfylder ovenstående begrænsning Denne definition kan generaliseres ved at fjerne begrænsningen og lade et element i A være relateret til 0 eller flere elementer i B og omvendt

2 FEN Relationer2 Definition af relationer •En relation R mellem mængderne A og B er en delmængde af A  B: R  A  B = {(a, b)  A  B  a  A  b  B} •Ofte kikker vi på relationer, hvor A = B og så taler vi om en relation på A

3 FEN Relationer3 Eksempler •a = b, hvor a  A  b  A: –’=’ er en relation på A og vi kan skrive –”(a, b)  =” i stedet for ”a = b” •Generelt kan vi skrive –aRb i stedet for (a, b)  R for en relation R på A.

4 Relationer og grafer •En relation kan repræsenteres med en orienteret graf (digraph: directed graph). •Fx: A = {1, 2, 3, 4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,4),(4,1)} FEN Relationer4

5 FEN Relationer5 Ækvivalensrelationer •En relation R på en mængde A er en ækvivalensrelation, hvis den er: 1.Refleksiv:  a  A (aRa) 2.Symmetrisk:  a, b  A (aRb  bRa) 3.Transitiv:  a, b, c  A ((aRb  bRc)  aRc)

6 FEN Relationer6 Øvelse (5 min.) Undersøg, hvilke af følgende relationer på de naturlige tal N: a)=b) >c)  Der er a)Refleksive b)Symmetriske c)Transitive

7 Øvelse •Og den her: –Refleksiv? –Symmetrisk? –Transitiv? A = {1, 2, 3, 4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,4),(4,1)} FEN Relationer7

8 FEN Relationer8 Eksempel: kongruensrelation på de naturlige tal •Lad relationen ’  4 ’ være defineret ved: a  4 b, hvis a-b er et multiplum af 4, hvor a  {0, 1, 2, 3} eller præcist: (a  4 b)  def (  k  Z: (a - b)= k  4) •Fx er {0, 4, 8, 12, 16, …} kongruente (modulus 4) •Er  4 en ækvivalensrelation? –Refleksiv? –Symmetrisk? –Transitiv? Læses: Kongruent modulus 4

9 FEN Relationer9 Klassedelinger (eng.: partition) •En klassedeling S 1, S 2,…, S n af en mængde A er en samling af parvis disjunkte delmængder af A, hvis foreningsmængde er lig med A: A= (  i| 1  i  n: S i ) hvor S i  A og S i  S j = Ø for alle 1  i, j  n

10 FEN Relationer10 Klassedelinger og ækvivalensrelationer •En klassedeling af en mængde A definerer en ækvivalensrelation E på A, idet vi kan definere E: aEb  ”a og b tilhører samme klasse” Bevis: Først vises, at E er en ækvivalensrelation: 1) Refleksive? 2) Symmetrisk? 3) Transitiv? (Tænk på klasserne som ”spande”)

11 FEN Relationer11 Bevis – fortsat Nu skal vi vise, at en ækvivalensrelation definerer en klassedeling: •Lad [a] E betegne {x  A  xEa}, vi kalder [a] E ækvivalensklassen indeholdende a •Vi skal nu vise, at mængderne [a] E for a  A er en klassedeling, dvs. 1.at foreningsmængden af alle ækvivalensklasserne er lig med A 2.at ækvivalensklasserne er parvis disjunkte Ad 1: Vi skal vise, at ethvert element i A tilhører én af ækvivalensklasserne. Følger trivielt af definitionen af [a] E Ad 2: Øvelse (se Martin, s. 17)

12 FEN Relationer12 Relationer mellem n>2 mængder •En relation kan også defineres mellem mere end én eller to mængder: Givet mængder A 1, A 2, …, A n. En relation mellem disse er da defineret som en delmængde af det kartetiske produkt mellem disse: R  A 1  A 2  …  A n eller R  {(a 1, a 2, …,a n )  a 1  A 1  a 2  A 2  …  a n  A n } •En relation mellem n mængder er en mængde af n-tupler (et ordnet par er en 2-tuple, så en n-tuple er et ordnet ”par” med n elementer)

13 FEN Relationer13 Databaser som relationer •En databasetabel kan ses, som en relation mellem de domæner, som tabellen er defineret over: •Hermed kan en database opfattes som en mængde af relationer, hvor en relation er en mængde af tupler.

14 FEN Relationer14 Egenskaber ved relationer: Følger af, at en relation er en mængde i matematisk forstand: –der ingen tuple, som optræder mere end en gang ( => der eksisterer altid en primærnøgle) –tuplerne er uordnede (vertikalt) –attributterne er uordnede (horisontalt) BEMÆRK FORSKELLE TIL TABELLER Afhænger af den præcise definition af mængdeprodukt

15 FEN Relationer15 Fordele •Relationsdatabaser er baseret på en solid matematisk teori, hvilket muliggør, at man ræsonnere formelt om relationsdatabaser: –Forespørgselssprog (relationsalgebra/prædikatslogik). –Query-optimering (vise ækvivalens mellem forskellige forespørgsler). –Normalisering (redundans undgås, og integritet kan sikres). –Automatiske værktøjer. –Mmm.


Download ppt "FEN 2013-01-29Relationer1 En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b),"

Lignende præsentationer


Annoncer fra Google