Præsentation er lastning. Vent venligst

Præsentation er lastning. Vent venligst

Sandsynlighedsregning Grundlæggende begreber … at udregne sandsynligheder Jævn og ujævn sandsynlighed.

Lignende præsentationer


Præsentationer af emnet: "Sandsynlighedsregning Grundlæggende begreber … at udregne sandsynligheder Jævn og ujævn sandsynlighed."— Præsentationens transcript:

1 Sandsynlighedsregning Grundlæggende begreber … at udregne sandsynligheder Jævn og ujævn sandsynlighed

2 Grundlæggende begreber Sandsynlighedsregning bruges, når man skal arbejde med problemer, der involverer tilfældighed – dvs. at man ikke på forhånd kan udregne resultatet. … og sandsynlighedsregning er den disciplin inden for matematikken, hvor man beregner chancen (eller risikoen) for at noget sker.

3 Grundlæggende begreber Sandsynlighedsregning bruges, når man skal arbejde med problemer, der involverer tilfældighed – dvs. at man ikke på forhånd kan udregne resultatet. … og sandsynlighedsregning er den disciplin inden for matematikken, hvor man beregner chancen (eller risikoen) for at noget sker. Eksempler: Kast med en terning eller en mønt, fordeling af kort i et kortspil, kombinationer af tal i lotto, bingo og lign., kast en tegnestift, kast med en tændstiksæske, resultatet af en fodboldkamp… Og sådan kan man blive ved…

4 Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får.

5 Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Eks: Eksperiment: Man kaster en almindelig, 6-sidet terning.

6 Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Når man udfører et eksperiment, er udfaldsrummet en betegnelse for ”de ting, der kan ske”, dvs. alle de mulige resultater af det stokastiske eksperiment.

7 Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Når man udfører et eksperiment, er udfaldsrummet en betegnelse for ”de ting, der kan ske”, dvs. alle de mulige resultater af det stokastiske eksperiment. Eks: Eksperiment: Man kaster en almindelig, 6-sidet terning. Udfaldsrummet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

8 Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Når man udfører et eksperiment, er udfaldsrummet en betegnelse for ”de ting, der kan ske”, dvs. alle de mulige resultater af det stokastiske eksperiment. Endelig opererer vi med begrebet hændelse. En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet. Dvs. at en hændelse er et eller flere af resultaterne i udfaldsrummet.

9 Grundlæggende begreber I sandsynlighedsregning opererer vi med såkaldte stokastiske (tilfældige) eksperimenter – dvs. forsøg, hvor der er flere forskellige resultater – og hvor vi ikke kan forudsige, hvilket resultat, vi får. Når man udfører et eksperiment, er udfaldsrummet en betegnelse for ”de ting, der kan ske”, dvs. alle de mulige resultater af det stokastiske eksperiment. Endelig opererer vi med begrebet hændelse. En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet. Dvs. at en hændelse er et eller flere af resultaterne i udfaldsrummet. Eks: Eksperiment: Man kaster en almindelig, 6-sidet terning. Udfaldsrummet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eksempler på hændelser: Det bliver en sekser – {6} Det bliver et lige tal – {2, 4, 6} Det bliver et kvadrattal – {1, 4} - osv…

10 Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler:

11 Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler: Eksperiment: Kast en almindelig mønt, f.eks. en 5-krone. Udfaldsrummet for dette eksperiment er: {plat, krone}.

12 Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler: Eksperiment: Kast en almindelig mønt, f.eks. en 5-krone. Udfaldsrummet for dette eksperiment er: {plat, krone}. Eksperiment: Kast en ganske almindelig 6-sidet terning. Udfaldsrummet for eksperimentet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

13 Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler: Eksperiment: Kast en almindelig mønt, f.eks. en 5-krone. Udfaldsrummet for dette eksperiment er: {plat, krone}. Eksperiment: Kast en ganske almindelig 6-sidet terning. Udfaldsrummet for eksperimentet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eksperiment: Kast to terninger og find summen af deres øjne. Udfaldsrummet er: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

14 Grundlæggende begreber Med andre ord: Et udfaldsrum er mængden af resultater, også kaldet udfald, i et givent eksperiment. Eksempler: Eksperiment: Kast en almindelig mønt, f.eks. en 5-krone. Udfaldsrummet for dette eksperiment er: {plat, krone}. Eksperiment: Kast en ganske almindelig 6-sidet terning. Udfaldsrummet for eksperimentet er: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Eksperiment: Kast to terninger og find summen af deres øjne. Udfaldsrummet er: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Eksperiment: Lav 2-cifrede tal med cifrene 2,5 og 8. Udfaldsrummet er: {22, 25, 28, 52, 55, 58, 82, 85, 88}

15 Jævn sandsynlighed Inden for spil af forskellig slags har vi næsten altid at gøre med det, vi kalder jævn sandsynlighed

16 Jævn sandsynlighed Inden for spil af forskellig slags har vi næsten altid at gøre med det, vi kalder jævn sandsynlighed Det betyder, at alle hændelserne er lige mulige og derfor også har samme sandsynlighed.

17 Jævn sandsynlighed Inden for spil af forskellig slags har vi næsten altid at gøre med det, vi kalder jævn sandsynlighed Det betyder, at alle hændelserne er lige mulige og derfor også har samme sandsynlighed. Sandsynligheden for en hændelse i et eksperiment med jævn sandsynlighed kan derfor altid findes ved dividere de gunstige udfald… Gunstige udfald = de udfald, vi gerne vil have som resultat (de ønskede udfald)

18 Jævn sandsynlighed Inden for spil af forskellig slags har vi næsten altid at gøre med det, vi kalder jævn sandsynlighed Det betyder, at alle hændelserne er lige mulige og derfor også har samme sandsynlighed. Sandsynligheden for en hændelse i et eksperiment med jævn sandsynlighed kan derfor altid findes ved dividere de gunstige udfald med de mulige udfald Mulige udfald = alle de for- skellige udfald, der kan blive resultatet af eksperimentet

19 Jævn sandsynlighed Altså: Når der er tale om jævn sandsynlighed, skal man altså altid finde eksperimentets gunstige og mulig udfald, hvor Mulige udfald = alle udfaldene i udfaldsrummet Hvis man kaster en terning, er de mulige udfald: 1, 2, 3, 4, 5 og 6

20 Jævn sandsynlighed Altså: Når der er tale om jævn sandsynlighed, skal man altså altid finde eksperimentets gunstige og mulig udfald, hvor Mulige udfald = alle udfaldene i udfaldsrummet Hvis man kaster en terning, er de mulige udfald: 1, 2, 3, 4, 5 og 6 OG Gunstige udfald = udfald, der opfylder en bestemt forudsætning. Gunstige udfald er resultatet af en ønsket hændelse! Hvis man kaster en terning, kunne et gunstigt udfald være, at man fik en sekser, et lige antal øjne eller lignende.

21 Jævn sandsynlighed •Sandsynligheden af en hændelse er altid et tal mellem 0 og 1

22 Jævn sandsynlighed •Sandsynligheden af en hændelse er altid et tal mellem 0 og 1 •Sandsynligheden for hændelsen findes ved at dividere antallet af gunstige udfald med antallet af mulige udfald…

23 Jævn sandsynlighed •Sandsynligheden af en hændelse er altid et tal mellem 0 og 1 •Sandsynligheden for hændelsen findes ved at dividere antallet af gunstige udfald med antallet af mulige udfald… •Sandsynligheden for en hændelse forkortes P(hændelse) ~ P står for Probability Ved et kast med en mønt er P(plat) = 0,5

24 Jævn sandsynlighed •Sandsynligheden af en hændelse er altid et tal mellem 0 og 1 •Sandsynligheden for hændelsen findes ved at dividere antallet af gunstige udfald med antallet af mulige udfald… •Sandsynligheden for en hændelse forkortes P(hændelse) ~ P står for Probability Ved et kast med en mønt er P(plat) = 0,5

25 Eksempel 1: Find sandsynligheden for at få en sekser ved et terningekast. Jævn sandsynlighed

26 Eksempel 1: Find sandsynligheden for at få en sekser ved et terningekast. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 6 (nemlig 1,2,3,4,5,6)

27 Eksempel 1: Find sandsynligheden for at få en sekser ved et terningekast. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 6 (nemlig 1,2,3,4,5,6) Antal gunstige udfald: 1 (nemlig kun 6)

28 Eksempel 1: Find sandsynligheden for at få en sekser ved et terningekast. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 6 (nemlig 1,2,3,4,5,6) Antal gunstige udfald: 1 (nemlig kun 6) P(6) = 1 6

29 Eksempel 2: Der kastes to ens mønter. Find sandsynligheden for, at begge mønter lander på plat. Jævn sandsynlighed

30 Eksempel 2: Der kastes to ens mønter. Find sandsynligheden for, at begge mønter lander på plat. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 4 (krone/krone, plat/krone, krone/plat, plat/plat)

31 Eksempel 2: Der kastes to ens mønter. Find sandsynligheden for, at begge mønter lander på plat. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 4 (krone/krone, plat/krone, krone/plat, plat/plat) Antal gunstige udfald: 1 (plat/plat)

32 Eksempel 2: Der kastes to ens mønter. Find sandsynligheden for, at begge mønter lander på plat. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 4 (krone/krone, plat/krone, krone/plat, plat/plat) Antal gunstige udfald: 1 (plat/plat) P(plat/plat) = 1 4

33 Eksempel 3: Et eksperiment består i at trække en kugle op af en pose med 4 røde kugler og 3 blå kugler. Find sandsynligheden for, at kuglen, der trækkes op, er rød. Jævn sandsynlighed

34 Eksempel 3: Et eksperiment består i at trække en kugle op af en pose med 4 røde kugler og 3 blå kugler. Find sandsynligheden for, at kuglen, der trækkes op, er rød. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 7 (4 røde og 3 blå kugler, i alt 7 kugler)

35 Eksempel 3: Et eksperiment består i at trække en kugle op af en pose med 4 røde kugler og 3 blå kugler. Find sandsynligheden for, at kuglen, der trækkes op, er rød. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 7 (4 røde og 3 blå kugler, i alt 7 kugler) Antal gunstige udfald: 4 (en af de 4 røde kugler)

36 Eksempel 3: Et eksperiment består i at trække en kugle op af en pose med 4 røde kugler og 3 blå kugler. Find sandsynligheden for, at kuglen, der trækkes op, er rød. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 7 (4 røde og 3 blå kugler, i alt 7 kugler) Antal gunstige udfald: 4 (en af de 4 røde kugler) P(rød kugle) = 4 7

37 Eksempel 4: Et eksperiment består i at trække et kort ud af et kortspil. Find sandsynligheden for, at kortet, der trækkes, er et Spar billedkort. Jævn sandsynlighed

38 Eksempel 4: Et eksperiment består i at trække et kort ud af et kortspil. Find sandsynligheden for, at kortet, der trækkes, er et Spar billedkort. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 52 (der er 52 kort i et kortspil)

39 Eksempel 4: Et eksperiment består i at trække et kort ud af et kortspil. Find sandsynligheden for, at kortet, der trækkes, er et Spar billedkort. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 52 (der er 52 kort i et kortspil) Antal gunstige udfald: 3 (Spar Knægt, Spar Dame og Spar Konge)

40 Eksempel 4: Et eksperiment består i at trække et kort ud af et kortspil. Find sandsynligheden for, at kortet, der trækkes, er et Spar billedkort. Jævn sandsynlighed Antal mulige udfald: 52 (der er 52 kort i et kortspil) Antal gunstige udfald: 3 (Spar Knægt, Spar Dame og Spar Konge) P(Spar billedkort) = 3 52

41 I virkelighedens verden møder vi næsten aldrig jævn sandsynlighed. Her findes der rigtig mange eksperimenter, hvor de forskellige hændelser ikke har lige store sandsynligheder. Dette kaldes ujævn sandsynlighed. Ujævn sandsynlighed

42 I virkelighedens verden møder vi næsten aldrig jævn sandsynlighed. Her findes der rigtig mange eksperimenter, hvor de forskellige hændelser ikke har lige store sandsynligheder. Dette kaldes ujævn sandsynlighed. Eksempler: * Summen af øjnene ved kast med 2 terninger * Kast med to tegnestifter * Kast med to tændstikæsker * Kaste gris – i spillet af samme navn Ujævn sandsynlighed

43 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Ujævn sandsynlighed

44 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Der bliver tale om følgende mulige udfald (= mulige summer, når øjnene lægges sammen): {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Ujævn sandsynlighed

45 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Der bliver tale om følgende mulige udfald (= mulige summer, når øjnene lægges sammen): {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} … og sandsynligheden for hvert af disse udfald kan bestemmes ved at sætte tallene ind i et skema, hvor hver af de to terninger repræsenteres… Ujævn sandsynlighed

46 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Mulige udfald for Terning 1 Ujævn sandsynlighed

47 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Mulige udfald for Terning 2 Ujævn sandsynlighed

48 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Dette giver 6·6=36 udfald… Ujævn sandsynlighed

49 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger … som findes ved at sige Terning 1 + Terning 2 Ujævn sandsynlighed

50 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Da summen ”2” findes én gang i skemaet, er sandsynligheden for at få summen ”2” altså 1 ud af 36 eller 1 36 Ujævn sandsynlighed

51 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Da summen ”3” findes to gange i skemaet, er sandsynligheden for at få summen ”3” altså 2 ud af 36 eller 2 36 Ujævn sandsynlighed

52 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger På samme måde findes sandsynligheden for at få summen ”4” til 3 36 Ujævn sandsynlighed

53 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger På samme måde findes sandsynligheden for at få summen ”4” til, summen ”5” til Ujævn sandsynlighed

54 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger På samme måde findes sandsynligheden for at få summen ”4” til, summen ”5” til, osv Ujævn sandsynlighed

55 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Samlet set får vi resultatet: Hændelse Sandsynlighed Ujævn sandsynlighed

56 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Samlet set får vi resultatet: Hændelse Sandsynlighed Ujævn sandsynlighed

57 Eksempel 1: Summen af øjnene ved kast med 2 terninger Samlet set får vi resultatet: - og man kan se, at det oftest vil blive til summen ”7”, mens ”2” og ”12” er sværest at få! Hændelse Sandsynlighed Ujævn sandsynlighed

58 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter Ujævn sandsynlighed

59 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter. Ud fra masser af forsøg, der er lavet med kast af en tegnestift ved man, at Ujævn sandsynlighed

60 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter. Ud fra masser af forsøg, der er lavet med kast af en tegnestift ved man, at … tegnestiften lander på skrå med stiften nedad i 57 % af kastene Ujævn sandsynlighed

61 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter. Ud fra masser af forsøg, der er lavet med kast af en tegnestift ved man, at … tegnestiften lander på skrå med stiften nedad i 57 % af kastene, og … altså lander på fladen i 43 % af kastene Ujævn sandsynlighed

62 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter – opsat i et skema: Lander på skrå Lander på fladen Mulige udfald for 1. tegnestift Ujævn sandsynlighed

63 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter – opsat i et skema: Mulige udfald for 2. tegnestift Lander på skrå Lander på fladen Lander på skrå Lander på fladen Ujævn sandsynlighed

64 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter – opsat i et skema: Skemaet kan nu udfyldes med de forskellige muligheder, der kan forekomme, når man kaster 2 tegnestifter… Lander på skrå Lander på fladen Lander på skrå Lander på fladen Ujævn sandsynlighed

65 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter – opsat i et skema: 1. tegnestift: på skrå, 2. tegnestift: på skrå: I alt: 0,57·0,57 = 0,3249 Lander på skrå Lander på fladen Lander på skrå 0,57·0,57 0,3249 Lander på fladen Ujævn sandsynlighed

66 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter – opsat i et skema: 1. tegnestift: på fladen, 2. tegnestift: på skrå: I alt: 0,43·0,57 = 0,2451 Lander på skrå Lander på fladen Lander på skrå 0,3249 0,43·0,57 0,2451 Lander på fladen Ujævn sandsynlighed

67 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter – opsat i et skema: 1. tegnestift: på skrå, 2. tegnestift: på fladen: I alt: 0,57·0,43 = 0,2451 Lander på skrå Lander på fladen Lander på skrå 0,32490,2451 Lander på fladen 0,57·0,43 0,2451 Ujævn sandsynlighed

68 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter – opsat i et skema: 1. tegnestift: på fladen, 2. tegnestift: på fladen: I alt: 0,43·0,43 = 0,1849 Lander på skrå Lander på fladen Lander på skrå 0,32490,2451 Lander på fladen 0,2451 0,43 · 0,43 0,1849 Ujævn sandsynlighed

69 Eksempel 2: Kast med to tegnestifter – opsat i et skema: Af skemaet kan man nu aflæse sandsynlighederne for de forskellige udfald: Skrå/skrå: 32,5 % Skrå/flade: 49,0 % Flade/flade: 18,5 % Lander på skrå Lander på fladen Lander på skrå 0,32490,2451 Lander på fladen 0,24510,1849 Ujævn sandsynlighed

70 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker. Ujævn sandsynlighed

71 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker. Ud fra forsøg ved man, at … Ujævn sandsynlighed

72 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker. Ud fra forsøg ved man, at … æsken lander på forsiden/billedsiden hhv. på bagsiden i hver 40 % af kastene Ujævn sandsynlighed

73 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker. Ud fra forsøg ved man, at … æsken lander på forsiden/billedsiden hhv. på bagsiden i hver 40 % af kastene, lander på en af svovlfladerne i 18 % af kastene Ujævn sandsynlighed

74 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker. Ud fra forsøg ved man, at … æsken lander på forsiden/billedsiden hhv. på bagsiden i hver 40 % af kastene, lander på en af svovlfladerne i 18 % af kastene - og på en af endefladerne i 2 % af kastene. Ujævn sandsynlighed

75 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: For- side Bag- side SvovlEnde Mulige udfald for 1. æske Ujævn sandsynlighed

76 For- side Bag- side SvovlEnde For- side Bag- side Svovl Ende Mulige udfald for 2. æske Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

77 For- side Bag- side SvovlEnde For- side Bag- side Svovl Ende Skemaet kan nu udfyldes med de forskellige muligheder, der kan forekomme, når man kaster 2 tændstikæsker… Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

78 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 Bag- side 0,16 Svovl Ende Forside/Forside, Forside/Bagside, Bagside/Bagside: 0,4·0,4 = 0,16 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

79 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,072 Bag- side 0,16 0,072 Svovl 0,072 Ende Forside/Svovl, Bagside/Svovl: 0,4·0,18 = 0,072 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

80 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,072 Bag- side 0,16 0,072 Svovl 0,072 0,0324 Ende Svovl/Svovl: 0,18·0,18 = 0,0324 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

81 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,0720,008 Bag- side 0,16 0,0720,008 Svovl 0,072 0,0324 Ende 0,008 Forside/Ende, Bagside/Ende: 0,4·0,02 = 0,008 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

82 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,0720,008 Bag- side 0,16 0,0720,008 Svovl 0,072 0,03240,0036 Ende 0,008 0,0036 Svovl/Ende: 0,18·0,02 = 0,0036 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

83 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,0720,008 Bag- side 0,16 0,0720,008 Svovl 0,072 0,03240,0036 Ende 0,008 0,00360,0004 Ende/Ende: 0,02·0,02 = 0,0004 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

84 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,0720,008 Bag- side 0,16 0,0720,008 Svovl 0,072 0,03240,0036 Ende 0,008 0,00360,0004 Ved hjælp af dette skema kan man nu aflæse sandsynlig- heder for forskellige udfald. Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

85 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,0720,008 Bag- side 0,16 0,0720,008 Svovl 0,072 0,03240,0036 Ende 0,008 0,00360,0004 F.eks.: Sandsynligheden for at begge lander på en flad side (forside eller bagside) = 0,64 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

86 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,0720,008 Bag- side 0,16 0,0720,008 Svovl 0,072 0,03240,0036 Ende 0,008 0,00360,0004 F.eks.: Sandsynligheden for at mindst den ene af dem lander på svovlet = 0,3276 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

87 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,0720,008 Bag- side 0,16 0,0720,008 Svovl 0,072 0,03240,0036 Ende 0,008 0,00360,0004 F.eks.: Sandsynligheden for at netop den ene af dem lander på svovlet = 0,2952 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

88 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,0720,008 Bag- side 0,16 0,0720,008 Svovl 0,072 0,03240,0036 Ende 0,008 0,00360,0004 F.eks.: Sandsynligheden for at ingen af dem lander på enden eller på bagsiden = 0,3364 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

89 For- side Bag- side SvovlEnde For- side 0,16 0,0720,008 Bag- side 0,16 0,0720,008 Svovl 0,072 0,03240,0036 Ende 0,008 0,00360,0004 F.eks.: Sandsynligheden for at de lander på forskellig side = 0,6472 Eksempel 3: Kast med to tændstikæsker – opsat i skema: Ujævn sandsynlighed

90 Eksempel 4: Kaste gris – i spillet af samme navn Ujævn sandsynlighed

91 Eksempel 4: Kaste gris – i spillet af samme navn. Her kastes 2 små grise-figurer, og man får point efter, hvordan de lander. De kan lande på 5 måder: Sandsynlighedsregning

92 Eksempel 4: Kaste gris – i spillet af samme navn. Her kastes 2 små grise-figurer, og man får point efter, hvordan de lander. De kan lande på 5 måder: Liggende på siden Ujævn sandsynlighed

93 Eksempel 4: Kaste gris – i spillet af samme navn. Her kastes 2 små grise-figurer, og man får point efter, hvordan de lander. De kan lande på 5 måder: Liggende på siden Liggende på ryggen Ujævn sandsynlighed

94 Eksempel 4: Kaste gris – i spillet af samme navn. Her kastes 2 små grise-figurer, og man får point efter, hvordan de lander. De kan lande på 5 måder: Liggende på siden Liggende på ryggen Stående på benene Ujævn sandsynlighed

95 Eksempel 4: Kaste gris – i spillet af samme navn. Her kastes 2 små grise-figurer, og man får point efter, hvordan de lander. De kan lande på 5 måder: Liggende på siden Liggende på ryggen Liggende på snuden Stående på benene Ujævn sandsynlighed

96 Eksempel 4: Kaste gris – i spillet af samme navn. Her kastes 2 små grise-figurer, og man får point efter, hvordan de lander. De kan lande på 5 måder: Liggende på siden Liggende på ryggen Stående på benene Liggende på snuden Liggende på øret Ujævn sandsynlighed

97 Eksempel 4: Sandsynlighederne for de forskellige måder, grisene kan lande på, er: Liggende på siden0,60 Liggende på ryggen0,24 Stående på benene0,12 Liggende på snuden0,03 Liggende på øret0,01 Ujævn sandsynlighed

98 Eksempel 4: Som i eksemplerne, der tidligere har været nævnt, kan mulighederne også i Kaste Gris udregnes og indsættes i et skema – regn selv efter: Siden (0,60) Ryggen (0,24) Benene (0,12) Snuden (0,03) Øret (0,01) Siden (0,60) 0,360,1440,0720,0180,006 Ryggen (0,24) 0,1440,05760,02880,00720,0024 Benene (0,12) 0,0720,02880,01440,00360,0012 Snuden (0,03) 0,0180,00720,00360,00090,0003 Øret (0,01) 0,0060,00240,00120,00030,0001 Ujævn sandsynlighed

99 Altså… Sandsynlighedsregning

100 En sandsynlighed er altså et tal mellem 0 og 1, angivet som en brøk, decimaltal eller procent. Sandsynlighedsregning Sandsynligheden for at en kastet mønt lander på plat er 0,5 50 % 1212

101 En sandsynlighed er altså et tal mellem 0 og 1, angivet som en brøk, decimaltal eller procent. Ved beregning af udfald, hvor der indgår 2 eller flere betingelser, får vi hjælp af kombinatorik. Sandsynlighedsregning

102 En sandsynlighed er altså et tal mellem 0 og 1, angivet som en brøk, decimaltal eller procent. Ved beregning af udfald, hvor der indgår 2 eller flere betingelser, får vi hjælp af kombinatorik. Ved kombinatorik udregner man, hvor mange måder, et udfald kan dannes. Sandsynlighedsregning

103 En sandsynlighed er altså et tal mellem 0 og 1, angivet som en brøk, decimaltal eller procent. Ved beregning af udfald, hvor der indgår 2 eller flere betingelser, får vi hjælp af kombinatorik. Ved kombinatorik udregner man, hvor mange måder, et udfald kan dannes. Sandsynlighedsregning På hvor mange måder kan man kaste 2 terninger og få summen 7?

104 En sandsynlighed er altså et tal mellem 0 og 1, angivet som en brøk, decimaltal eller procent. Ved beregning af udfald, hvor der indgår 2 eller flere betingelser, får vi hjælp af kombinatorik. Ved kombinatorik udregner man, hvor mange måder, et udfald kan dannes. Sandsynlighedsregning På hvor mange måder kan man kaste 2 terninger og få summen 7? På hvor mange måder kan man vælge en formand og en kasserer blandt en klubs 33 medlemmer?

105 En sandsynlighed er altså et tal mellem 0 og 1, angivet som en brøk, decimaltal eller procent. Ved beregning af udfald, hvor der indgår 2 eller flere betingelser, får vi hjælp af kombinatorik. Ved kombinatorik udregner man, hvor mange måder, et udfald kan dannes. Sandsynlighedsregning På hvor mange måder kan man kaste 2 terninger og få summen 7? På hvor mange måder kan man vælge en formand og en kasserer blandt en klubs 33 medlemmer? På hvor mange måder kan man vælge 3 medlemmer til et festudvalg i en klasse med 24 elever?

106 En sandsynlighed er altså et tal mellem 0 og 1, angivet som en brøk, decimaltal eller procent. Ved beregning af udfald, hvor der indgår 2 eller flere betingelser, får vi hjælp af kombinatorik. Ved kombinatorik udregner man, hvor mange måder, et udfald kan dannes. Sandsynlighedsregning På hvor mange måder kan man kaste 2 terninger og få summen 7? På hvor mange måder kan man vælge en formand og en kasserer blandt en klubs 33 medlemmer? På hvor mange måder kan man vælge 3 medlemmer til et festudvalg i en klasse med 24 elever? På hvor mange måder kan man udfylde en lottokupon, hvor man skal vælge 6 tal blandt 36 tal?

107 En sandsynlighed er altså et tal mellem 0 og 1, angivet som en brøk, decimaltal eller procent. Ved beregning af udfald, hvor der indgår 2 eller flere betingelser, får vi hjælp af kombinatorik. Ved kombinatorik udregner man, hvor mange måder, et udfald kan dannes. Sandsynlighedsregningen er altså en overbygning på eller videreudvikling af kombinatorikken. Sandsynlighedsregning

108 Sandsynlighedsregning


Download ppt "Sandsynlighedsregning Grundlæggende begreber … at udregne sandsynligheder Jævn og ujævn sandsynlighed."

Lignende præsentationer


Annoncer fra Google