Præsentation er lastning. Vent venligst

Præsentation er lastning. Vent venligst

Pythagoræiske Læresætning

Lignende præsentationer


Præsentationer af emnet: "Pythagoræiske Læresætning"— Præsentationens transcript:

1 Pythagoræiske Læresætning
Forhistorie (Hvem var han?)… Hvad siger Pythagoras? Hvordan bruges læresætningen? Pythagoras i koordinatsystemet… Bevis for den Pythagoræiske læresætning

2 Forhistorie Pythagoras blev født omkring 569 f.kr. på øen Samos (i Grækenland), men flyttede senere til Crotone (en græsk koloni i Syditalien), hvor han virkede til sin død i ca. 475 f.kr. Han var filosof, matematiker og astronom. Den pythagoræiske læresætning, som han lagde navn til, blev anvendt allerede 1000 år tidligere, men han var den første, den beviste dens almene gyldighed: a2 + b2 = c2.

3 Forhistorie Pythagoras var meget produktiv og stod fadder til flere matematiske beviser og læresætninger: Han var den første, der konstruerede de 5 regulære polyedre. Dodekaeder Heksaeder Ikosaeder Oktaeder Tetraeder

4 Forhistorie Pythagoras var meget produktiv og stod fadder til flere matematiske beviser og læresætninger: Han var den første, der konstruerede de 5 regulære polyedre. Han opdagede de irrationale tal. √23 √2

5 Forhistorie Pythagoras var meget produktiv og stod fadder til flere matematiske beviser og læresætninger: Han var den første, der konstruerede de 5 regulære polyedre. Han opdagede de irrationale tal. Han beregnede vinkelsummen i en trekant. 180o

6 Forhistorie Pythagoras var meget produktiv og stod fadder til flere matematiske beviser og læresætninger: Han var den første, der konstruerede de 5 regulære polyedre. Han opdagede de irrationale tal. Han beregnede vinkelsummen i en trekant. … og han var den første, der ved konstruktion kunne løse andengradsligningen.

7 Hvad siger Pythagoras? Pythagoras udtaler sig om retvinklede trekanter. Den Pythagoræiske læresætning siger: ”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. (a2 + b2 = c2)

8 Hvad siger Pythagoras? Pythagoras udtaler sig om retvinklede trekanter. Den Pythagoræiske læresætning siger: ”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. (a2 + b2 = c2) Den omvendte Pythagoræiske læresætning siger: ”Når i en trekant kvadratet på en af siderne er lig summen af de to andres siders kvadrater, er trekanten retvinklet”.

9 Hvad siger Pythagoras? Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. c a De 2 korteste sider, a og b, kaldes kateter b

10 Hvad siger Pythagoras? Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. Den længste side, c, kaldes hypotenusen c a b

11 Hvad siger Pythagoras? Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. c a Kateterne ligger altid hos den rette vinkel! b Hypotenusen ligger altid over for den rette vinkel!

12 Hvad siger Pythagoras? Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. Den længste side, c, kaldes hypotenusen c a a2 + b2 = c2 De 2 korteste sider, a og b, kaldes kateter b

13 Hvad siger Pythagoras? Eksempel: a=3, b=4, c=5: 5 3 4

14 Hvad siger Pythagoras? Eksempel: a=3, b=4, c=5: a2 + b2 = c2

15 Hvad siger Pythagoras? Eksempel: a=3, b=4, c=5: a2 + b2 = c2
Man siger, at talsættet (3,4,5) er et pythagoræisk talsæt

16 Hvordan bruges Pythagoras?
Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras: (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder

17 Hvordan bruges Pythagoras?
Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras: (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde.

18 Hvordan bruges Pythagoras?
Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras: (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde. (2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras)

19 Hvordan bruges Pythagoras?
Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras: (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde. (2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) (3) Bruge pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)

20 Type 1 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Type 1

21 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 ? 7 24

22 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 = c2 ? 7 24

23 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 = c2 = c2 ? 7 24

24 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 = c2 = c2 625 = c2 ? 7 24

25 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 = c2 = c2 625 = c2 √625 = c ? 7 24

26 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 = c2 = c2 625 = c2 √625 = c 25 = c 25 7 Hypotenusen er 25 cm 24

27 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 ? 28 45

28 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 = c2 ? 28 45

29 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 = c2 = c2 ? 28 45

30 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 = c2 = c2 2809 = c2 ? 28 45

31 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 = c2 = c2 2809 = c2 √2809 = c ? 28 45

32 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 = c2 = c2 2809 = c2 √2809 = c 53 = c 53 28 Hypotenusen er 53 cm 45

33 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 ? 80 m 84 m

34 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 = c2 ? 80 m 84 m

35 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 = c2 = c2 ? 80 m 84 m

36 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 = c2 = c2 13456 = c2 ? 80 m 84 m

37 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 = c2 = c2 13456 = c2 √13456 = c ? 80 m 84 m

38 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 = c2 = c2 13456 = c2 √13456 = c 116 = c 116 m 80 m 84 m

39 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 ? 4 m 4,2 m

40 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 ? 4 m 4,2 m

41 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 ,64 = c2 ? 4 m 4,2 m

42 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 ,64 = c2 33,64 = c2 ? 4 m 4,2 m

43 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 ,64 = c2 33,64 = c2 √33,64 = c ? 4 m 4,2 m

44 At beregne hypotenusen
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 ,64 = c2 33,64 = c2 √33,64 = c 5,8 = c 5,8 m 4 m 4,2 m

45 Type 1a At beregne en katete
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Type 1a

46 At beregne en katete a2 + b2 = c2
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 17 8 ?

47 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 17 8 ?

48 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82 17 8 ?

49 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82 a2 = 289 – 64 17 8 ?

50 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82 a2 = 289 – 64 a2 = 225 17 8 ?

51 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82 a2 = 289 – 64 a2 = 225 a = √225 17 8 ?

52 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172 – 82 a2 = 289 – 64 a2 = 225 a = √225 a = 15 17 8 Kateten er 15 cm 15

53 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 2: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og den anden katete 55 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 73 55 ?

54 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 2: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og den anden katete 55 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552 73 55 ?

55 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 2: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og den anden katete 55 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552 a2 = 5329 – 3025 73 55 ?

56 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 2: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og den anden katete 55 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552 a2 = 5329 – 3025 a2 = 2304 73 55 ?

57 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 2: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og den anden katete 55 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552 a2 = 5329 – 3025 a2 = 2304 a = √2304 73 55 ?

58 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 2: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og den anden katete 55 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 732 – 552 a2 = 5329 – 3025 a2 = 2304 a = √2304 a = 48 73 55 Kateten er 48 cm 48

59 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 1: En 5 m lang stige står op ad en mur, så den netop når toppen. Hvor høj er muren, når stigen når jorden 1,4 m fra muren? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 55 ? 5 m 1,4 m

60 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 1: En 5 m lang stige står op ad en mur, så den netop når toppen. Hvor høj er muren, når stigen når jorden 1,4 m fra muren? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42 55 ? 5 m 1,4 m

61 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 1: En 5 m lang stige står op ad en mur, så den netop når toppen. Hvor høj er muren, når stigen når jorden 1,4 m fra muren? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42 a2 = 25 – 1,96 55 ? 5 m 1,4 m

62 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 1: En 5 m lang stige står op ad en mur, så den netop når toppen. Hvor høj er muren, når stigen når jorden 1,4 m fra muren? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42 a2 = 25 – 1,96 a2 = 23,04 55 ? 5 m 1,4 m

63 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 1: En 5 m lang stige står op ad en mur, så den netop når toppen. Hvor høj er muren, når stigen når jorden 1,4 m fra muren? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42 a2 = 25 – 1,96 a2 = 23,04 a = √23,04 55 ? 5 m 1,4 m

64 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 1: En 5 m lang stige står op ad en mur, så den netop når toppen. Hvor høj er muren, når stigen når jorden 1,4 m fra muren? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 52 – 1,42 a2 = 25 – 1,96 a2 = 23,04 a = √23,04 a = 4,8 5 m 4,8 m 1,4 m

65 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 2: En kegleformet sandbunke har en side-længde på 4,1 m og en radius på 4 m. Hvor høj sandbunken? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 4,1 m h? 4 m

66 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 2: En kegleformet sandbunke har en side-længde på 4,1 m og en radius på 4 m. Hvor høj sandbunken? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42 4,1 m h? 4 m

67 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 2: En kegleformet sandbunke har en side-længde på 4,1 m og en radius på 4 m. Hvor høj sandbunken? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42 a2 = 16,81 – 16 4,1 m h? 4 m

68 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 2: En kegleformet sandbunke har en side-længde på 4,1 m og en radius på 4 m. Hvor høj sandbunken? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42 a2 = 16,81 – 16 a2 = 0,81 4,1 m h? 4 m

69 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 2: En kegleformet sandbunke har en side-længde på 4,1 m og en radius på 4 m. Hvor høj sandbunken? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42 a2 = 16,81 – 16 a2 = 0,81 a = √0,81 4,1 m h? 4 m

70 At beregne en katete a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Praktisk eksempel 2: En kegleformet sandbunke har en side-længde på 4,1 m og en radius på 4 m. Hvor høj sandbunken? a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 4,12 – 42 a2 = 16,81 – 16 a2 = 0,81 a = √0,81 a = 0,9 4,1 m 0,9 m 4 m

71 Type 2 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Type 2

72 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 1: En trekant har sidelængderne 12, 34 og 37 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? 37 12 ? 34

73 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 1: En trekant har sidelængderne 12, 34 og 37 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? = 372 ? 37 12 ? 34

74 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 1: En trekant har sidelængderne 12, 34 og 37 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? = 372 ? = 1369? 37 12 ? 34

75 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 1: En trekant har sidelængderne 12, 34 og 37 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? = 372 ? = 1369? 1300 = 1369? 37 12 ? 34

76 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 1: En trekant har sidelængderne 12, 34 og 37 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? = 372 ? = 1369? 1300 = 1369? 12 34 37 Nej, 1300 ≠ 1369! Dermed er der ikke tale om en retvinklet trekant!

77 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 2: En trekant har sidelængderne 80, 39 og 89 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? 89 39 ? 80

78 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 2: En trekant har sidelængderne 80, 39 og 89 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? = 892 ? 89 39 ? 80

79 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 2: En trekant har sidelængderne 80, 39 og 89 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? = 892 ? = 7921? 89 39 ? 80

80 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 2: En trekant har sidelængderne 80, 39 og 89 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? = 892 ? = 7921? 7921 = 7921? 89 39 ? 80

81 Er trekanten retvinklet?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) Eksempel 2: En trekant har sidelængderne 80, 39 og 89 cm. Er den retvinklet? a2 + b2 = c2 ? = 892 ? = 7921? 7921 = 7921? Ja, 7921 = 7921! Dermed er der denne gang tale om en retvinklet trekant! 89 39 80

82 Type 3 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Type 3

83 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 1: Hvor høj er Khefrens pyramide i Egypten? Khefrens pyramide er kvadratisk med en sidelængde på 215 m

84 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 1: Hvor høj er Khefrens pyramide i Egypten? Højden kan ikke måles, da pyramiden er massiv. h Khefrens pyramide er kvadratisk med en sidelængde på 215 m

85 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 1: Hvor høj er Khefrens pyramide i Egypten? Højden kan ikke måles, da pyramiden er massiv. Men sidelængden kan måles præcist (209 m). Khefrens pyramide er kvadratisk med en sidelængde på 215 m

86 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 1: Hvor høj er Khefrens pyramide i Egypten? Højden kan ikke måles, da pyramiden er massiv. Men sidelængden kan måles præcist (209 m). Herefter kan sidens højde beregnes ved Pythagoras Khefrens pyramide er kvadratisk med en sidelængde på 215 m

87 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 1: Hvor høj er Khefrens pyramide i Egypten? Højden kan ikke måles, da pyramiden er massiv. Men sidelængden kan måles præcist (209 m). Herefter kan sidens højde beregnes ved Pythagoras (179,2 m) 209 m 107,5 m Khefrens pyramide er kvadratisk med en sidelængde på 215 m

88 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 1: Hvor høj er Khefrens pyramide i Egypten? Højden kan ikke måles, da pyramiden er massiv. Men sidelængden kan måles præcist (209 m). Herefter kan sidens højde beregnes ved Pythagoras (179,2 m) Endelig kan pyramidens lodrette højde findes ved at anvende Pythagoras en gang til! (143,4 m) h Khefrens pyramide er kvadratisk med en sidelængde på 215 m

89 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 2: Hvor lang er rumdiago-nalen i en kasse? 7,2 5,0 9,6

90 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 2: Hvor lang er rumdiago-nalen i en kasse? Først udregnes diagonalen for en af siderne… 7,2 5 5,0 9,6

91 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 2: Hvor lang er rumdiago-nalen i en kasse? Først udregnes diagonalen for en af siderne… (her: 12,0) 7,2 12,0 5,0 5 9,6

92 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 2: Hvor lang er rumdiago-nalen i en kasse? Først udregnes diagonalen for en af siderne… (her: 12,0) … og derefter diagonalen i diagonalfladen 7,2 12,0 5,0 9,6

93 Pythagoras i rumfigurer
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras) Eks. 2: Hvor lang er rumdiago-nalen i en kasse? Først udregnes diagonalen for en af siderne… (her: 12,0) … og derefter diagonalen i diagonalfladen – og hermed er længden af rumdiagonalen fundet (her: 13,0) 13,0 7,2 12,0 5,0 9,6

94 Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet ved hjælp af Pythagoras: Eks. Find længden af liniestykket AB i koordinatsystemet til venstre. B A

95 Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet ved hjælp af Pythagoras: Eks. Find længden af liniestykket AB i koordinatsystemet til venstre. Fra liniestykkets ene endepunkt (A) tegnes den lodrette linie gennem punktet, B A

96 Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet ved hjælp af Pythagoras: Eks. Find længden af liniestykket AB i koordinatsystemet til venstre. Fra liniestykkets ene endepunkt (A) tegnes den lodrette linie gennem punktet, og fra det andet endepunkt (B) tegnes den vandrette linie gennem dette punkt. B A

97 Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet ved hjælp af Pythagoras: Eks. Find længden af liniestykket AB i koordinatsystemet til venstre. Fra liniestykkets ene endepunkt (A) tegnes den lodrette linie gennem punktet, og fra det andet endepunkt (B) tegnes den vandrette linie gennem dette punkt. Herefter opstår en retvinklet trekant, hvor kateternes længder kan aflæses direkte. B A

98 Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet ved hjælp af Pythagoras: Eks. Find længden af liniestykket AB i koordinatsystemet til venstre. Fra liniestykkets ene endepunkt (A) tegnes den lodrette linie gennem punktet, og fra det andet endepunkt (B) tegnes den vandrette linie gennem dette punkt. Herefter opstår en retvinklet trekant, hvor kateternes længder kan aflæses direkte. 9 B 6 A

99 Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet ved hjælp af Pythagoras: Eks. Find længden af liniestykket AB i koordinatsystemet til venstre. Nu bruges Pythagoras til at finde længden af liniestykket, og man får, at AB = 10,82 9 B 6 A

100 Bevis for Pythagoras Der findes mindst 75 forskellige beviser for, at den Pythagoræiske læresætning nu også er gyldig!!! (Se: På de følgende sider vises ét af beviserne (tillagt den indiske matematiker Bhaskara (12. årh. e. kr.):

101 Bevis for Pythagoras Lad os se på den retvinklede trekant ABC, hvor vinkel C er ret. Da vinkel C er 90o, må summen af vinklerne A og B ligeledes være 90o. A c b B a C

102 Bevis for Pythagoras c Vi kan nu lave firkanten til højre ud fra 4 ens, retvinklede trekanter, ABC. Denne firkant er kvadratisk med sidelængden c, da hvert hjørne udgøres af vinkel A + vinkel B. Arealet af hele firkanten er c2. c c a b c

103 Bevis for Pythagoras Flytter vi lidt rundt på de 4 trekanter, kan man få følgende figur: a - b a - b c a c b a b

104 Bevis for Pythagoras Det samlede areal af det røde plus det grønne område må altså være: (a – b)2 + 2ab = (a2 + b2 – 2ab) + 2ab = a2 + b2 a - b a - b c a c b a b

105 Bevis for Pythagoras Arealet af figuren er med andre ord fundet på 2 forskellige måder:

106 Bevis for Pythagoras c Arealet af figuren er med andre ord fundet på 2 forskellige måder: Her: Arealet = c2 c c a b c

107 Bevis for Pythagoras Arealet af figuren er med andre ord fundet på 2 forskellige måder: - og her: Arealet = a2 + b2 a - b a - b c a c b a b

108 Bevis for Pythagoras Arealet af figuren er med andre ord fundet på 2 forskellige måder: Altså: Arealet = a2 + b2 = c2 - eller: a2 + b2 = c2 Og Pythagoras gælder altså! A c b B a C

109 Pythagoras


Download ppt "Pythagoræiske Læresætning"

Lignende præsentationer


Annoncer fra Google