1 HA Almen, Midtvejsprøve d. 7. januar 2014 Det skal - bare for en god ordens skyld - understreges, at den efterfølgende ”vejledende løsning” langt overstiger.

1 HA Almen, Midtvejsprøve d. 7. januar 2014 Det skal - bare for en god ordens skyld - understreges, at den efterfølgende ”vejledende løsning” langt overstiger de krav, der ved prøvens afholdelse blev stillet til at opnå karakteren 12. Kjeld Tyllesen Erhvervsøkonomi / Managerial Economics

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 2 Opgave 1Opgave 5.2Opgave 10.1 Opgave 2Opgave 6Opgave 10.2 Opgave 3.1Opgave 7Opgave 10.3 Opgave 3.2Opgave 8Opgave 11 Opgave 3.3Opgave 9.1Opgave 12 Opgave 4Opgave 9.2 Opgave 5.1Opgave 9.3 Erhvervsøkonomi / Managerial Economics HA Almen, Midtvejsprøve d. 7. januar 2014 Indhold

3 Opgave 1 HA Almen, Midtvejsprøve d. 7. januar 2014 Kjeld Tyllesen Erhvervsøkonomi / Managerial Economics Til Indhold

O p g a v e t e k s t 4 Det antages, at for 0 < P < 7 kan efterspørgslen efter søm beskrives som: Q D = 60 - 15P + P 2. Spørgsmål Du bedes beregne priselasticiteten for P = 4. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

5 Nu har vi bestemt de enkelte elementer i ovenstående udtryk for Ep, så: Det er oplyst i opgaveteksten, at Q D = 60 - 15P + P 2 og P = 4 => Q D = 60 – 15 * 4 + 4 2 = 16. dQ/dP = (60 – 15P + P 2 )’ = -15 + 2P Ep = %ΔQ = dQ / dP = dQ * P %ΔP Q P dP Q Det samlede billede bliver nu således => Ep = (-15 + 2P) * P/Q=(-15 + 2 * 4) *4/16 = -1,75. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Ep = -1,75 16 6 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

O p g a v e t e k s t 8 For produktet A kan man ved en pris på 200 kr. afsætte 1.000 stk. pr. periode. Hvis man afsætter 50% mere, er E P = -0,5. Spørgsmål Fastlæg efterspørgselsfunktionen. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

9 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Det forudsættes, at P-funktionen som sædvanligt kan beskrives ved en ret linje. Hvor ”Nedre” = P og ”Venstre” = Q. Vi ved, at Ep = -Nedre/Øvre (målt lodret) = - Højre/Venstre (målt vandret). Her ved vi, at for (P, Q) = (?, 1.000 * (1 + 0,5)) er Ep = - 0,5 = - Højre = - Højre => Højre = 750 Venstre 1.500 Når P = AQ + B ved man, at Q Max = Venstre + Højre,og hermed, at Q Max = Venstre + Højre = 1.500 + 750 = 2.250.

Idet P = AQ + B får man, at Så P = -0,16Q + 360  Efterspørgselsfunktion: Q = -6,25P + 2.250. Nu har vi 2 punkter, fra opgaveteksten, at (P; Q) = (200; 1.000), og vi har selv fundet (0; 2.250). 10 A = ΔP/ΔQ = (200 – 0)/(1.000 – 2.250) = -0,16 => B = A * Q Max = 2.250 * 0,16 = 360. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

og så får man igen, at P = +80/-500 Q + 360 = -0,16Q + 360  Q = -6,25P + 2.250. Heraf fås 2 punkter på den lineære afsætningsfunktion, nemlig (P, Q) = (120, 1.500) og (200, 1.000). Ep = - 0,5 = Eller: Ved (P, Q) = (P, 1.000 * (1 + 0,50)) = (P, 1.500) er Ep = -0,5 og ved at ”gå tilbage” fra det nye punkt (P, Q) = (P, 1.500) og til (P, Q) = (200, 1.000) får vi, at %dQ = 1.000 – 1.500 : 200 – P => P = 120 %dP 1.500P Q P 0 1.500 P = ? 1.000 200 11 P = 120 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

12 Opgave 3.1 HA Almen, Midtvejsprøve d. 7. januar 2014 Kjeld Tyllesen Erhvervsøkonomi / Managerial Economics Til Indhold

O p g a v e t e k s t 13 (P, Q) = (2.000, 500) og (1.500, 700). Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Spørgsmål Fastlæg efterspørgselsfunktionen og find Priselasticiteten Ep(P = 900) og den hertil hørende værdi af (P, Q). Til Indhold

14 Det forudsættes, at P-funktionen er retliniet, altså at P = AQ + B. Idet ”(P, Q) = (2.000, 500) og (1.500, 700)” fås, at A = 2.000 – 1.500 = -2,5 500 – 700 Nu indsættes (P, Q) = (2.000, 500) i ”P = -2,5Q + B” og så  Ep(P = 900) = -Nedre/Øvre = -900/(3.250 – 900) => Ep(P = 900) = -0,3829. 2.000 = -2,5 * 500 + B => B = 3.250 => P = -2,5Q + 3.250 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

Q P 0 1.300 940 900 3.250 Ep = - 0,3829 Ep = - uendel. Ep = 0 Ep = - 1 Den Inverse Efterspørgselsfunktion kommer til at se således ud: Idet vi bruger, at P-funktionen P = -2,5Q + 3.250 får man, at P = 900 = -2,5 * Q + 3.250 => 15 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Q = 940 stk./periode, altså (P, Q) = (900, 940). Til Indhold Og Efterspørgselsfunktionen: P = -2,5Q + 3.250 => Q = -0,4P + 1.300

O p g a v e t e k s t 17 Det vides, at P = -2,5Q + 3.250 (resultat fra Spm. 3.1). Spørgsmål Find arc-elasticiteten for intervallet 800 < Q < 1.000 og fastlæg det matematiske udtryk for den hertil hørende afsætningsfunktion. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

18 Først skal vi finde (P, Q) for de 2 yderpunkter af intervallet: Vi får altså 2 punkter, (P 1, Q 1 ) = (1.250, 800) Vi anvender formelen for arc-priselasticitet, således E P (arc) = 1.250 + 750 * 800 – 1.000 = -0,4444 800 + 1.000 1.250 - 750 Q = 800 => P = - 2,50 * 800 + 3.250 = 1.250. Q = 1.000 => P = -1.000 * 2,5 + 3.250 = 750. og (P 2, Q 2 ) = (750, 1.000). Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Arc elasticitet: Når P-funktionen – for alle værdier af P - skal have en konstant værdi for Ep, ved vi, at den har form og derfor også matematisk udtryk som en hyperbel. Når man dernæst vil finde de værdier, for hvilke (P, Q) = (750, 1.000) og (1.250, 800) ligger på funktionen Q = A * P -0,4444 + C får man, at 800 = A * 1.250 -0,4444 + C og 1.000 = A * 750 -0,4444 + C =>C = 1.000 – A * 750 -0,4444 og herfra videre fås ved indsætning, at 800 = A * 1250 -0,4444 + (1.000 – A * 750 -0,4444 ) Heraf fås, at Q = A * P -0,4444 + C. 19 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Løses disse sammen - evt. ved hjælp af Excels målsøgningsfunktion - får man, at A = 18.664,79 Så den fælles efterspørgselsfunktion for (P, Q) = (750, 1.000) og (1.250, 800) og Ep = -0,4444 bliver Ved at anvende det videre, får man, at C = 1.000 – A * 750 -0,4444 =15,20. Q = 18.664,79 * P -0,4444 + 15,20. 20 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Q P 0 1.300 1.000 1.250 3.250 Ep = - 0,3829 Ep = - uendel. Ep = 0 Ep = - 1 800 750 Det kan illustreres således: Eller 21 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

O p g a v e t e k s t 23 Vi ved, at1. P = -2,5Q + 3.250 2. Q = 18.664,79 * P -0,4444 + 15,20. Spørgsmål Find og kommentér beliggenheden af den i Spm. 3.1 fundne værdi af (P, Q ) = (900, Q) i forhold til svaret på Spørgsmål 3.2. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

1: P = -2,5Q + 3.250og(P, Q ) = (900, 940) =>Ep = - Nedre/Øvre = -900/3.250 = - 0,3829 Her har vi altså en ret-liniet afsætningsfunktion, hvor - for hele intervallet - den marginale ændring = dP/dQ = P’ = A = -2,5, altså er konstant, mens Ep ændrer sig. 24 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Dette er en almindelig retliniet afsætningsfunktion, P = AQ + B. Til Indhold

2: Q = 18.664,79 * P -0,4444 + 15,20 Ep = -0,4444 uanset værdi af P. Og her har vi altså en hyperbel-formet afsætningsfunktion, hvor - for hele intervallet - den marginale ændring = dP/dQ = P’ ændrer sig, mens Ep = -0,4444 er konstant. Dette er en afsætningsfunktion, fundet ved udregning af arc-elasticiteten over et interval, (P 1, Q 1 ) => (P 2, Q 2 ), her P: 1.250 => 750 kr./enhed,mens Q: 800 => 1.000 enheder/periode 25 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

26 Q P 0 1.300 1.000 1.250 3.250 Ep = - 0,3829 Ep = - uendel. Ep = 0 Ep = - 1 800 750 900 940 923,36 832,83 Udgangspunkt: Hvis vi fastholder Q = 940 stk./periode => Hvis vi fastholder P = 900 kr./stk. => P: 900,00 => 832,83 kr./stk. Ep: -0,3829 => -0,4444 Q: 940,00 => 923,36 stk./periode Ep: -0,3829 => -0,4444 Og yderpunkterne for intervallet: Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Nærbillede: Hvis vi fastholder Q = 940 stk./periode => P: 900,00 => 832,83 kr./stk. Ep: -0,3829 => -0,4444 Hvis vi fastholder P = 900 kr./stk. => Q: 940,00 => 923,36 stk./periode Ep: -0,3829 => -0,4444 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 27 Til Indhold

Pointen er altså, at når vi går fra punktelasticitet på en retliniet afsætningsfunktion til arc-elasticitet Husk: Retliniede afsætningsfunktioner: Konstant marginalforhold dP/dQog 0 < Ep < uendelig Hyperbelformede afsætningsfunktioner: Numerisk faldende marginalforhold dP/dQ for stigende Q og Ep = Konstant værdi 28 bevæger vi os samtidig i det pågældende interval over på en hyperbel-formet afsætningsfunktion. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

O p g a v e t e k s t 30 Opgave 4 Q = -5P + 3I + 500, hvor I = Indkomst/periode = 20. Nu stiger I til 22. Spørgsmål Vis i grafisk form Indkomstelasticiteten = E I = f(Q) og eventuelt andre sammenhænge, som vil sætte dig i stand til derefter at kommentere på de erhvervsøkonomisk set relevante og interessante sammenhænge. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

31 Q = -5P + 3I + 500 og I = 22 => Q = -5P + 3 * 22 + 500 = -5P + 566. Det gælder at E I = A * I/Q = 3 * 22/Q. Den ønskede sammenhæng, E I = f(Q) ser derfor således ud: Det ses, at for Q 1, og der er således tale om et Luksusgode. For Q > 66 er 0 < E I < 1, og der er her tale om en nødvendigheds vare. 66 1 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Jf. ovenfor er E I = 3 * 22 / QogQ = -5P + 566  E I = 3 *22/(-5P + 566). Hermed kan vi afbilde E I = f(P) således: Det ses, at for P < 100 kr./stk. bliver 0 < E I < 1 og nærmer sig værdien 0 for faldende værdier af P. Her er der altså tale om en Nødvendighedsvare. 32 For 100 1, altså et luksusgode og for P > ca. 113 kr./stk. bliver E I < 0 og bliver dermed et Inferiørt gode, og E I nærmer sig ”nedefra” værdien 0 for stigende værdier af P. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så for stigende værdier af P gennemløber denne vare altså en status Forløbet er illustreret i denne tabel: 33 fra Nødvendighedsvare => Luksusgode => Inferiørt gode. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

O p g a v e t e k s t 35 Virksomhed A producerer i Danmark hver måned 50 stk. af produkt B, og ved dette produktionsniveau gælder, at K = 20 / L, hvor K = enheder kapital/måned og L = enheder af L/måned. Det gælder, at enhedsprisen for L = w = 300 kr./enhed og enhedsprisen for K = r = 1.200 kr./enhed. Spørgsmål Hvilken værdi antager MRTS at have i Danmark ved en værdi af L på 30 enheder/måned? Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

36 I Danmark: MRTS = dK/dL = (20 / L)’ = (20 L -1 )’ = -20 L (-1-1) = -20 L -2 L MRTS -0,2222 30 L = 30 => MRTS = -20 * 30 -2 = -0,02222. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

O p g a v e t e k s t 38 Virksomhed A producerer i Danmark hver måned 50 stk. af produkt B, og ved dette produktionsniveau gælder, at K = 20 / L, hvor K = enheder kapital/måned og L = enheder af L/måned. Det gælder, at enhedsprisen for L = w = 300 kr./enhed og enhedsprisen for K = r = 1.200 kr./enhed. Produktionen flyttes nu til Letland. Ved produktion derovre forventer man 1.Enhedsprisen for L falder med 60 %, og enhedsprisen for K falder med 25%, begge i forhold til de gældende danske satser. 2.Ved enhver given mængde af K forventes de lettiske medarbejdere at have en produktivitet, der er 20% lavere end de danske medarbejdere. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

Først findes de lettiske lønninger pr. tidsenhed for K og L: 39 Spørgsmål Gennemfør klare beregninger, illustrationer og analyser af ovenstående konsekvenser af flytningen af produktionen til Letland i henhold til ovenstående trin 1 – 3, når Virksomhed A ønsker at fastholde sin produktion på 50 stk. af produkt B pr. måned. 3.Ved enhver given mængde af L forventes det lettiske kapitalapparat K kun at have en effektivitetsgrad på 70 i forhold til det danske. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

K:r Letland = 1.200 * (1 – 0,25) = 900 kr./enhed L:w Letland = 300 * (1 – 0,6) = 120 kr./enhed 40 Fra opgaveteksten vides det, at K = 20/L => MRTS = -20 L -2. Optimalsituation før flytning: MRTS Danmark = -20 L -2 = -w Danmark /r Danmark = -300/1.200 => L Danmark = 8,94 enheder/periodeog K Danmark = 20/8,94 = 2,24 enheder/periode. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS ”Produktionen flyttes nu til Letland. Ved produktion derovre forventer man, at Enhedsprisen for L falder med 60 %, og enhedsprisen for K falder med 25%, begge i forhold til de gældende danske satser.” Til Indhold

Optimalsituation efter flytning: MRTS Letland = -20 L -2 = -w Letland /r Letland = -120/900 => altså nu et højere forbrug af arbejdskraft og mindre Kapital p.gr.a. denne ændring i værdierne for w og r. L Letland = 12,25 enheder/periode, og K Letland = 20/12,25 = 1,63 enheder/periode, Altså ganske som forventet; husk at bruge den sunde fornuft! 41 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

K L 8,94 2,24 12,25 1,63 Dette kan illustreres således: Efter Før 42 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

Dernæst: ”Ved enhver given mængde af K forventes de lettiske medarbejdere at have en produktivitet, der er 20% lavere end de danske medarbejdere.” K Danmark = 20/L og p.gr.a. en produktivitet for L i Letland, der er 20% lavere, bliver nu K Letland = 20/(1 – 0,2) *L = 25/L. Ny optimalsituation i Letland: MRTS Letland = -25 L -2 = -w Letland /r Letland = -120/900 => altså nu et højere forbrug af arbejdskraft og mere Kapital p.gr.a. L’s mindre produktivitet. L Letland = 13,69 enheder/periode, (før: 12,25)og K Letland = 25/13,69 = 1,83 enheder/periode (før: 1,63); Altså ganske som forventet; husk at bruge den sunde fornuft! 43 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

44 13,69 1,83 12,25 1,63 K L Før Efter Isoquant, 50 stk., Basis og efter -20% produktivitet for L. Dette kan illustreres således: Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

Dernæst: ”Ved enhver given mængde af L forventes det lettiske kapitalapparat K kun at have en effektivitetsgrad på 70 i forhold til det danske. K Letland = 20/(1 – 0,2)L = 25/L og et kapitalapparat, der ved en given mængde af L har en effektivitetsgrad på 70% af den danske, bliver nu K Letland = (25/0,7)/L = 35,71/L. Ny optimalsituation i Letland: MRTS Letland = -35,71 L -2 = -w Letland /r Letland = -120/900 => L Letland = 16,37 enheder/periode, (før 13,69)og K Letland = (25/0,7) / 16,37) = 2,18 enheder/periode; (før 1,83) altså nu et højere forbrug af arbejdskraft og mere Kapital p.gr.a. Kapitalens, (K) mindre produktivitet. 45 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

46 16,37 2,18 13,69 1,83 K L Før Efter Isoquant, 50 stk., Basis og efter -30% produktivitet for K. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

Udgangspunkt1. Nedsatte værdier2. -20% effekti-3. Kun 70% effekti- for w og rvitet for Lvitet af K Ko (stk.)2,241,631,832,18 Lo (stk.)8,9412,2513,6916,37 TVC (kr.)5.370,002.9373.289,803.926,40 Resultaterne bliver i sammenfatning: Udvikling ved flytning af produktion fra Danmark til Letland (L, K) 47 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

O p g a v e t e k s t 49 Spørgsmål Fremsæt forslag til, hvordan modellen for ”Linear Cost- Volume-Profit Analysis” kan modificeres, så dette værktøj i højere grad bliver praktisk anvendelig på en udvidet række af erhvervsøkonomiske problemstillinger. Max. 0,5 side. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

50 I den lineære form af ”Linear Cost-Volume-Profit Analysis” er den anvendte markedsform Fuldkommen konkurrence, da P er konstant KR. 0 Break-even punkt Profit Q FC Omsætning TVC TC Sikkerhedsmargin Profit D.d. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

MC og dermed også AVC vil ligeledes være konstant uanset værdien af Q. Der er altså ”constant returns to scale” på lang sigt. Begge forhold virker urealistiske, hvis modellen anvendes ved store ændringer i Q. I sådanne tilfælde må modellen modificeres, hvorved vi i princippet ender i en optimeringsmodel efter totalmetoden 51 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

KR. 0 Break-even punkt TVC Q FC Omsætning TVC TC Sikkerhedsmargin TC Omsætning Profit Break-even punkt Profit Sikkerhedsmargin D.d. 52 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Hvis modellen derimod kun anvendes til analyse af små ændringer i Q på f.eks. (+/- 5-10%) fra det eksisterende udgangspunkt, Det vil især gælde for TVC, men dog ikke for P-funktionen, da der må forventes en markedsform, som vil have en faldende P-funktion, altså forskellig fra Fuldkommen konkurrence. Det kan dog i praksis tænkes, at indenfor ganske vist ret snævre intervaller vil sælger i praksis opleve P-funktionen som konstant. 53 kan lineære sammenhænge i mange tilfælde anvendes som en brugbar tilnærmelse til virkeligheden Det kan bl.a. skyldes problemer med dataindsamling, ansartet tidsmæssig afgrænsning ved observationer m.v. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

O p g a v e t e k s t 55 Anvendelsen af Lineær programmering til løsning af optimeringsproblemer indenfor Managerial Economics hviler på en række specifikke forudsætninger. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Spørgsmål Diskuter disse forudsætningers realisme, implikationer, samspil og betydning for øvrige erhvervsøkonomiske modeller indenfor produktions- og efterspørgselsteori. Fremstillingen bør være kort og klar og også relatere sig til det omkringliggende samfund. Max. 0,5 side. Til Indhold

56 A Linear Programming model is based on the following properties: 1. Proportionality. This means that the contribution of each decision variable to the value of the objective function and the left hand side of constraints are directly proportional to the level of the decision variable. In other words we are talking about “constant returns to scale”. 2. Nonnegativity Decision. Variables are not allowed to be negative. This means that solutions variables of say costs cannot be negative, or the number of workers allocated to a job cannot be negative. Ovenstående besvarelse af dette spørgsmål er i alt overvejende grad citeret fra: Eric Bentzen, PEØ, CBS: “An Introduction to Linear Programming; August 2014” Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

3. Additivity. The objective function or the function of the left hand side of a functional constraint is the sum of the individual contributions of each variable. 4. Divisibility of Decision variables. Solutions are allowed to have fractional values equal to or above zero. Fractional values for the decision variables, such as 1.25 are allowed. 5. Certainty. This assumption asserts that the objective coefficients, the constraints coefficients, and the “right hand side coefficients” of the LP model are deterministic. This means that they are known fixed constants. 57 Ovenstående besvarelse af dette spørgsmål er i alt overvejende grad citeret fra: Eric Bentzen, PEØ, CBS: “An Introduction to Linear Programming; August 2014” Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

MC og dermed også AVC er også konstant. Det udelukker ”Law of diminishing return” på kort sigt. P.gr.a. de lineære sammenhænge, der er forudsætningen for anvendelse af LP-modellen, er den forudsatte og anvendte markedsform Fuldkommen konkurrence, altså med en konstant værdi af P uanset størrelsen af Q. 58 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Dette virker ikke realistisk i forhold til modellens udstrakte anvendelse. Endvidere vil det for LP-modeller til omkostningsminimering gælde, at alle isokvanter er rette linier med konstante værdier af MRTS. Som nævnt ovenfor vil der således ikke på kort sigt optræde ”law of diminishing return”, hvilket ikke virker sandsynligt i den virkelige verden. Til Indhold

59 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS De konstante og lineære relationer er også ensbetydende med ”Constant returns to scale” på lang sigt Dette er heller ikke realistisk ved større ændringer i Q og udelukker endvidere f.eks. ”Learning effect”, ”Economies of scale” og ”Economies of Scope”. og således f.eks. ingen omkostningsmæssige fordele ved indkøb i form af rabatter, billigere ind- og udgående distribution o.s.v. Til Indhold

The managerial perspective Linear programming is not a panacea. Instead linear programming is a mathematical tool that sometimes approximates a managerial problem quite well. Instead of having constant returns to scale we could have increasing or decreasing returns to scale. If we are unsure of the exact number of resources that are needed in a manufacturing problem then the certainty assumption would be violated. If we take a closer look at the assumptions underlying the linear programming model we can very easily specify applications where the assumptions are not met. 60 Ovenstående besvarelse af dette spørgsmål er i alt overvejende grad citeret fra: Eric Bentzen, PEØ, CBS: “An Introduction to Linear Programming; August 2014” Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

Data that are used in a linear programming model are uncertain because they cannot be measured precisely and because they can fluctuate in different unpredictable ways. Just think of machine breakdowns, absence of workers or power failures, etc. The certainty assumption is indeed a rare occurrence in real life, where data are more likely to be presented by probabilistic distributions. 61 Ovenstående besvarelse af dette spørgsmål er i alt overvejende grad citeret fra: Eric Bentzen, PEØ, CBS: “An Introduction to Linear Programming; August 2014” Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS If the standard deviations of these distributions are sufficiently small, then the approximation is acceptable. Til Indhold

The profit or the cost approximates an uncertain amount. The actual value depends on current price of raw materials, defects during manufacturing or changing in inventory costs, etc. 62 To sum up one should have in mind that uncertainty in the data is one reason why models are just approximate. Ovenstående besvarelse af dette spørgsmål er i alt overvejende grad citeret fra: Eric Bentzen, PEØ, CBS: “An Introduction to Linear Programming; August 2014” Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

O p g a v e t e k s t 64 En tøjproducent skal planlægge produktionen for den kommende uge. Virksomheden producerer bukser og jakker til herrer og damer. Nedenstående tabel pr. 100 stk. produceret tøj angiver dækningsbidrag, denim stof, samt tid til Tilskæring, Syning og Pakning. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Udover stoffet denim er Tilskæring, Syning og Pakning de 3 områder, der har betydning for omfanget af virksomhedens produktion. Til Indhold Produktionsoplysninger pr. 100 stk. produceret:

65 Spørgsmål Formulér en model for Lineær Programmering i en form, der gør den direkte anvendelig som input i et traditionelt LP-program. Tøjproducenten benytter Lineær programmering for at finde frem til ugens produktionsplanlægning. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold Tøjtype Dækningsbidrag (i kroner) Denim ( i meter) Tilskæring (i timer) Syning (i timer) Pakning (i timer) Herre jakke2.000150340.75 Dame jakke2.800125430.75 Herre bukser1.200200220.50 Dame bukser1.50015022.50.50 Ressourcer 2.50036 8

66 Tøjtype Dækningsbidrag (i kroner) Denim ( i meter) Tilskæring (i timer) Syning (i timer) Pakning (i timer) Herre jakke2.000150340.75 Dame jakke2.800125430.75 Herre bukser1.200200220.50 Dame bukser1.50015022.50.50 Ressourcer 2.50036 8 Opgavetekstens centrale oplysninger: Maksimere eller Minimere? Da de eneste økonomiske oplysninger vedrører Dækningsbidrag, skal dette maksimeres. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

Målvariable? Af ovennævnte følger, at modellens målvariable udgøres af Målfunktion (”Z”): Z = 2.000 Herre jakke + 2.800 Dame jakke + 1.200 Herre bukser + 1.500 Dame bukser Herre jakke Dame jakke Herre bukser Dame bukser Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 67 Til Indhold

68 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Begrænsninger: Denim ( i meter) Tilskæring (i timer) Syning (i timer) Pakning (i timer) Herre jakke150340.75 Dame jakke125430.75 Herre bukser200220.50 Dame bukser15022.50.50 Ressourcer 2.50036 8 Og de hertil hørende maksimale ressourcer til rådighed Til Indhold

69 Herre- Dame- Herre-Dame- Jakke jakke bukserbukser 2.000 2.800 1.2001.500 = Z Max. 150 125 200 150 < 2.500 3 4 2 2 < 36 4 3 2 2,5 < 36 0,75 0,75 0,5 0,5 < 8 Så hermed en LP-model, der kan anvendes direkte som input i et traditionelt LP-program. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Denim Tilskæring Syning Paknin

Opgaven er løst ved hjælp af Solver-funktionen i Excel: ” 54_Lineær Programmering – Formulering af Model”: 70 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

O p g a v e t e k s t 72 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS DEN OPTIMALE LØSNING KRITERIEFUNKTIONEN 26100.0000 PARTIELLE SENSITIVITETSANALYSER LØSNINGS MARGINAL GRÆNSER FOR KOEFF. I KRITERIEFUNK. VARIABEL VÆRDI PROFIT NEDRE GIVNE ØVRE Herrejakke 0.0000 -275.0000 -UENDELIG 2000.0000 2275.0000 Damejakke 4.5000 0.0000 1800.0000 2800.0000 3000.0000 Herrebukser 0.0000 250.0000 -UENDELIG 1200.0000 1450.0000 Damebukser 9.0000 0.0000 1400.0000 1500.0000 2333.3333 SKYGGE- GRÆNSER FOR HØJRESIDERNE BEGRÆNSNING TYPE PRIS SLACKVARIABEL NEDRE GIVNE ØVRE Denim <= 0.0000 587.5000 1912.5000 2500.0000 +UENDELIG Tilskæring <= 625.0000 0.0000 28.8000 36.0000 37.3333 Syning <= 100.0000 0.0000 27.0000 36.0000 37.0000 Pakning <= 0.0000 0.1250 7.8750 8.0000 +UENDELIG Til Indhold Uddata fra LP-modellen til ugens produktionsplanlægning giver nedenstående resultat:

Spørgsmål Hvilken ændring sker der i den optimale løsning ovenfor, hvis én af højresiderne i modellens input ændres med +/- 5 enheder? Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 73

74 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Heraf følger: (2.500 – 5) Ændringer i den givne værdi på +/- 5 enheder ligger indenfor ”Grænser for højresiderne”, Begrænsning 1: SKYGGE- GRÆNSER FOR HØJRESIDERNE BEGRÆNSNING TYPE PRIS SLACKVARIABEL NEDRE GIVNE ØVRE Begr. 1 <= 0.0000 587.5000 1912.5000 2500.0000 +UENDELIG 2.495 (> Nedre = 1.912,5) < Begr. 1 < 2.505 (< Øvre = uendel.) Nu ændres begrænsningerne/højresiderne/ressourcerne med +/- 5 enheder og ved udregning af den økonomiske værdi af Z ved disse ændringer kan man derfor anvende Skyggeprisen pr. ændret enhed. Da Skyggeprisen her er lig med 0, får ændringer på +/- 5 enheder ingen økonomisk betydning. Til Indhold

75 Heraf følger: (36 – 5) Begrænsning 2: Ændring i den givne værdi på – 5 enheder ligger indenfor den nedre værdi af ”Grænser for højresiderne”, Ændring i den givne værdi på + 5 enheder ligger udenfor den øvre værdi af ”Grænser for højresiderne”, SKYGGE- GRÆNSER FOR HØJRESIDERNE BEGRÆNSNING TYPE PRIS SLACKVARIABEL NEDRE GIVNE ØVRE Begr. 2 <= 625.0000 0.0000 28.8000 36.0000 37.3333 31 (> Nedre = 28,8) Øvre = 37,333) Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS og ved udregning af den nye Z ved disse ændringer kan man derfor kun anvende Skyggeprisen pr. ændret enhed ved en ændring på max. (37,333 – 36) = 1,333 = +3,7%; og ved udregning af den nye Z ved disse ændringer kan man derfor anvende Skyggeprisen pr. ændret enhed. Til Indhold meget snævert

76 Heraf følger: (36 – 5) Begrænsning 3: Ændring i den givne værdi på – 5 enheder ligger indenfor den nedre værdi af ”Grænser for højresiderne”, Ændring i den givne værdi på + 5 enheder ligger udenfor den øvre værdi af ”Grænser for højresiderne”, SKYGGE- GRÆNSER FOR HØJRESIDERNE BEGRÆNSNING TYPE PRIS SLACKVARIABEL NEDRE GIVNE ØVRE Begr. 3 <= 100.0000 0.0000 27.0000 36.0000 37.0000 31 (> Nedre = 27) Øvre = 37)) Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS og ved udregning af den nye Z ved disse ændringer kan man derfor kun anvende Skyggeprisen pr. ændret enhed ved en ændring på max. (37 – 36) = 1,0 = +2,8%; og ved udregning af den nye Z ved disse ændringer kan man derfor anvende Skyggeprisen pr. ændret enhed. Til Indhold meget snævert interval

77 3 (< Nedre = 7,875) < Begr. 4 < 13 (< Øvre = uendelig). Begrænsning 4: Ændring i den givne værdi på – 5 enheder ligger udenfor den nedre værdi af ”Grænser for højresiderne”, Ændring i den givne værdi på + 5 enheder ligger indenfor den øvre værdi af ”Grænser for højresiderne”, SKYGGE- GRÆNSER FOR HØJRESIDERNE BEGRÆNSNING TYPE PRIS SLACKVARIABEL NEDRE GIVNE ØVRE Begr. 4 <= 0.0000 0.1250 7.8750 8.0000 +UENDELIG Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Heraf følger:(8 – 5) og ved udregning af nye Z kan man derfor kun anvende Skyggeprisen pr. ændret enhed ved en ændring på max. (7,875 – 8) = -0,125 = -1,6 %. og ved udregning af den nye Z kan man derfor anvende Skyggeprisen pr. ændret enhed. Da Skyggeprisen her er lig med 0, får ændringer på +/- 5 enheder ingen økonomisk betydning. Da skyggeprisen = 0, bliver den økonomiske betydning = 0. Til Indhold

Opgaven er løst i Excel, således 78 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

O p g a v e t e k s t Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 80 DEN OPTIMALE LØSNING KRITERIEFUNKTIONEN 26.100.0000 PARTIELLE SENSITIVITETSANALYSER LØSNINGS MARGINAL GRÆNSER FOR KOEFF. I KRITERIEFUNK. VARIABEL VÆRDI PROFIT NEDRE GIVNE ØVRE Herre jakke 0.0000 -275.0000 -UENDELIG 2000.0000 2275.0000 Dame jakke 4.5000 0.0000 1800.0000 2800.0000 3000.0000 Herrebukser 0.0000 250.0000 -UENDELIG 1200.0000 1450.0000 Dame bukser 9.0000 0.0000 1400.0000 1500.0000 2333.3333 SKYGGE- GRÆNSER FOR HØJRESIDERNE BEGRÆNSNING TYPE PRIS SLACKVARIABEL NEDRE GIVNE ØVRE Denim <= 0.0000 587.5000 1912.5000 2500.0000 +UENDELIG Tilskæring <= 625.0000 0.0000 28.8000 36.0000 37.3333 Syning <= 100.0000 0.0000 27.0000 36.0000 37.0000 Pakning <= 0.0000 0.1250 7.8750 8.0000 +UENDELIG Til Indhold Uddata fra LP-modellen til ugens produktionsplanlægning giver nedenstående resultat:

81 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Spørgsmål Hvilken ændring sker der i den optimale løsning ovenfor, hvis der overføres 10 timers arbejdskapacitet fra Tilskæring til Syning? O p g a v e t e k s t Til Indhold

Når der som her sker en samtidig ændring i 2 af modellens parametre, og da en LP-model er en partiel model, kan nærværende spørgsmål ikke besvares ved kun at betragte ovenstående udskrift af modellens resultater. Modellen skal i givet fald ”køres om” med de nye værdier for Tilskæring og Syning. 82 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Man kan altså ved anvendelse af LP-modellen kun analysere resultatet af ændringer i én variabel ad gangen. Til Indhold

84 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS O p g a v e t e k s t DEN OPTIMALE LØSNING KRITERIEFUNKTIONEN 26100.0000 PARTIELLE SENSITIVITETSANALYSER LØSNINGS MARGINAL GRÆNSER FOR KOEFF. I KRITERIEFUNK. VARIABEL VÆRDI PROFIT NEDRE GIVNE ØVRE Herre jakke 0.0000 275.0000 -UENDELIG 2000.0000 2275.0000 Dame jakke 4.5000 0.0000 1800.0000 2800.0000 3000.0000 Herrebukser 0.0000 250.0000 -UENDELIG 1200.0000 1450.0000 Dame bukser 9.0000 0.0000 1400.0000 1500.0000 2333.3333 SKYGGE- GRÆNSER FOR HØJRESIDERNE BEGRÆNSNING TYPE PRIS SLACKVARIABEL NEDRE GIVNE ØVRE Denim <= 0.0000 587.5000 1912.5000 2500.0000 +UENDELIG Tilskæring <= 625.0000 0.0000 28.8000 36.0000 37.3333 Syning <= 100.0000 0.0000 27.0000 36.0000 37.0000 Pakning <= 0.0000 0.1250 7.8750 8.0000 +UENDELIG Til Indhold Uddata fra LP-modellen til ugens produktionsplanlægning giver nedenstående resultat:

85 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Spørgsmål Hvordan skal man tolke ”Marginal profit” i den her givne opgave? Du bør være så specifik som muligt i dit svar. O p g a v e t e k s t Til Indhold

86 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Da der er tale om en maksimeringsopgave, vil ”Marginal profit” angive den negative ændring – altså her et fald – i Z-værdien, hvis der skal produceres 1 enhed af det pågældende færdigprodukt, hvilket her er Herre jakker og Herre bukser, hvor den optimale løsningsværdi er 0 stk. Til Indhold

Marginal Profit/Reduced Cost: The reduced cost of an unused activity is the amount by which profits will decrease if one unit of this activity is forced into the solution. Obviously, a variable that already appears in the optimal solution will have a zero reduced cost (Eric Bentzen, CBS) Hvis der var tale om en minimeringsopgave, vil Marginal Profit også her angive den negative ændring i Z-værdien, hvis der skal produceres 1 enhed mere af en variabel, hvor den optimale værdi er 0 enheder. Men da opgaven her er at minimere værdien af Z, vil en negativ ændring være ensbetydende med en STIGNING i Z, altså typisk højere omkostninger. 87 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

89 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS En virksomhed, der fremstiller produktionsanlæg, har for 20 leverede anlæg foretaget en opgørelse over hvert anlægs produktionsomkostninger, energiforbruget af anlægget, samt antal fuldtidsansatte, der varetager driften af det pågældende anlæg. Sammenhørende værdier for anlæg, produktionsomkostninger i mio. kr., energiforbrug i Megawatt (MW) samt antal fuldtidsansatte er følgende: O p g a v e t e k s t

Observationer Produktionsomkost- ninger i million kr. Energiforbrug (MW) Antal fuldtidsansatte 11,1145 21,1555 31,2375 41,2786 51,35106 61,63176 71,75207 81,79217 91,79218 101,91248 112,07289 122,43379 132,513910 142,473810 152,955012 162,634213 173,155113 183,595515 193,757215 204,117616 90 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

I vedlagte bilag (slides 105 - 109) er gengivet resultaterne af en regressionsanalyse, der er udført i Excel ved anvendelse af en multiplikativ model. Modellens udformning og uddata er anført i bilaget og er udført på basis af ln(observerede værdier). 91 O p g a v e t e k s t Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Spørgsmål Med anvendelse og tydelige henvisninger til de i bilagene fremlagte data bedes du med et erhvervsøkonomisk udgangspunkt forklare og vurdere resultater, præcision m.v. af den anvendte model.

92 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Model: Produktionsomkostninger i million kroner = A * Energiforbrug (MW) B * Antal ansatte C. Denne multiplikative regressionsmodel kan ved anvendelse af logaritmer omskrives til en lineær regressionsmodel, der kan udtrykkes således:

Vi antager, at lnY i er normalfordelt, lnY i har middelværdi μ i, som er en lineær funktion af x 1 og x 2, ln Y i har konstant varians σ 2, lnY i ’erne er stokastisk uafhængige der er ingen multikollinearitet mellem x 1 og x 2. Og fordi modellen nu er blevet lineær (i naturlige logaritmer), kan vi anvende ”mindste kvadraters metode” til at finde det matematiske udtryk, som ”passer til” (logaritmen af) de foreliggende observationer. 93 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

94 Med en beregnet R 2 -værdi på ca. 0,98 (slide # 107, grønt), synes den multiple lineære model at give en god forklaringsværdi for ln Y i. Modelkontrol: Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

95 Hvis alle forudsætningerne er opfyldt, vil e’erne tilnærmelsesvist ligne uafhængige observationer fra en nor- malfordeling med forventet værdi 0 og konstant varians σ 2. Det ses nedenfor (slide # 109) i Normal Probability Plot, at tendenslinien rent faktisk er meget tæt på en ret linie (y = 0,0137x + 0,0417; R 2 = 0,9888), hvilket betyder, at data er normalfordelt. Er data normalfordelt? Hvis det er tilfældet, skal ”Normal Probability Plot” være en ret linie. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Så ovenstående spørgsmål kan altså her ud fra besvares bekræftende; data er normalfordelt – som er én af modellens grund-antagelser. 96 Nu ser vi nærmere på de enkelte variable, og derfor ser vi først på ”Residual Output” og dernæst på ”X Variable Residual Plot” for Variabel 1 og 2. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

ObservationPredicted YResidualsStandard ResidualsPercentileY 10,0537960240,0505639910,9523533862,50,104360015 20,0961533450,0436085980,821351227,50,139761942 30,1600228230,0469913460,88506398612,50,207014169 40,298673147-0,059656247-1,12360253717,50,2390169 50,341030468-0,040925875-0,77082316922,50,300104592 60,4417548250,046825190,88193449427,50,488580015 70,568400871-0,008785083-0,1654636732,50,559615788 80,5776622660,0045533540,08576067237,50,58221562 90,660645011-0,078429391 -1,477187511 42,50,58221562 100,685992067-0,038888824-0,73245609847,50,647103242 110,788449063-0,060900456-1,14703673452,50,727548607 120,8413547050,0465365520,87649811657,50,887891257 130,9168236140,003459140,06515156862,50,904218151 140,911892922-0,007674771-0,14455137867,50,920282753 151,0772900530,0045151180,08504050972,50,966983846 161,093936465-0,126952619 -2,3911039 77,51,08180517 171,1307913440,0166111090,31286387282,51,147402453 181,2340539150,0440982880,83057434187,51,278152203 191,2851789480,0365768920,68891174692,51,32175584 201,3355493390,07787369 1,466721088 97,51,413423029 RESIDUAL OUTPUTPROBABILITY OUTPUT Observa tion Predicted Y Residuals Standard Residuals PercentileY 97 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Først ser vi på ”Residualer” (rødt, slide 97), der er fundet som (Faktisk observation – Modellens beregning). 98 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS De 3 største afvigere er markeret, men i øvrigt synes residualerne at være jævnt og tilfældigt fordelt i et relativt snævert bånd omkring 0. Det understøttes af en trendlinie, hvor Residualer = 0,0053 * Observation – 0,0558. R 2 = 0,001, altså ingen trendlinie eller sammenhæng.

Dernæst ser vi på ”Standardiserede Residualer” (grønt, slide 97), der er fundet som (Residualer/Standardafvigelse). Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 99. De 3 største afvigere er markeret, men de øvrige Standardiserede Residualer er jævnt og tilfældigt indenfor +/- 1 Standardafvigelse. Det understøttes af en trendlinie, hvor Residualer = 0,0053 * Observation – 0,0558. R 2 = 0,001, altså ingen trendlinie eller sammenhæng; lige som før.

Af ovenstående grafiske residualdiagram for Variabel 1 ses, at det ikke giver anledning til ændringer i modellen. Residualer ligger jævnt fordelt på begge sider af 0 med en vandret trendlinie omkring 0 (Tendenslinie: y = -5E-17x + 3E-16; R 2 = 7E-31), hvilket indikerer, at observationerne er indbyrdes uafhængige. 2 Std.afv. Og alle residualer ligger indenfor +/- 2 standardafvigelser, hvilket også er et krav til observationernes gensidige uafhængighed. 100 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Det samme kan ses ved at betragte X Variable 2 Residual Plot (Tendenslinie: y = -1E-16x + 5E-16; R 2 = 1E-30), hvor der således nås en tilsvarende konklusion. 1 Std.afv. Og alle residualer ligger indenfor +/- 2 standardafvigelser (her +/- 1), hvilket også er et krav til observationernes gensidige uafhængighed. 101 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Coefficients Standard Error t StatP-valueLower 95% Intercept -1,2095327890,098948359-12,223879197,57986E-10-1,418295579 ln(Energiforbrug) 0,1898209480,0461248784,1153701380,0007223070,09250596 ln(Antal ansatte) 0,6214474610,1040800735,9708591781,5188E-050,401857701 Når vi ser på uddata ovenfor (fra slide # 107), er alle 3 estimerede parametre signifikant forskellige fra 0. Det ses af, at den numeriske værdi af ”t stat” > 2, ”P-value” er < 5% og ”Coefficients” ligger (væsentligt) udenfor ”Lower 95%”. Det kan derfor fastslås, at alle 3 variable, Konstant, Energiforbrug og Antal ansatte har indflydelse på og altså en forklarende betydning for den afhængige variabel, ”Produktionsomkostninger”. 102 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

103 Fra bilag (slide # 105) og ovenfor fremgår, at den estimerede additive model er fremkommet med udgangspunkt i en multiplikativ model, der er angivet som: Produktionsomkostninger i mio. kr. = A * Energiforbrug (MW) B * Antal ansatte C Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

104 Produktionsomkostninger = 0,298337*Energiforbrug(MW) 0,189821 *Antal ansatte 0,621447 Med den estimerede model kan vi nu udtrykke sammenhængen i mio. kr. til De samlede produktionsomkostninger kan man betragte som en gennemsnitlig grundomkostning på 0,298337 og en output-elasticitet (ΔInput = 1% => Δprod.omk. = ??%) for energiforbrug (MW) på 0,189821 og for Antal ansatte på 0,621447. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Bilag, slide 105 – 109 Regressionsanalyse Produktionsomkostninger i million kroner = A * Energiforbrug (MW) B * Antal ansatte C Analysen er udført ved først at tage den naturlige logaritme, "ln", af de observerede værdier og derefter gennemføre regressionsanalysen på dette grundlag. Uddata herfra er angivet nedenfor. Inddata før omskrivning ved hjælp af ln-funktionen: 105 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Observationer Produktionsomkost- ninger i million kr. Energiforbrug (MW) Antal fuldtidsansatte 11,1145 21,1555 31,2375 41,2786 51,35106 61,63176 71,75207 81,79217 91,79218 101,91248 112,07289 122,43379 132,513910 142,473810 152,955012 162,634213 173,155113 183,595515 193,757215 204,117616 106 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

ANOVA dfSSMSFSignificance F Regression23,0863572951,543178647489,80711919,36129E-16 Residual170,0535599340,003150584 Total193,139917229 CoefficientsStandard Errort StatP-valueLower 95% Intercept-1,2095327890,098948359-12,223879197,57986E-10-1,418295579 ln(Energiforbrug)0,1898209480,0461248784,1153701380,0007223070,09250596 ln(Antal ansatte)0,6214474610,1040800735,9708591781,5188E-050,401857701 SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R0,991434439 R Square0,982942247 Adjusted R Square0,980935452 Standard Error0,056130066 Observations20 Upper 95%Lower 95,0%Upper 95,0% lntercept:-1,00077-1,418295579-1,00077 ln(Energiforbrug):0,2871359350,092505960,287135935 Ln(Antal ansatte):0,8410372210,4018577010,841037221 107 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

ObservationPredicted YResidualsStandard ResidualsPercentileY 10,0537960240,0505639910,9523533862,50,104360015 20,0961533450,0436085980,821351227,50,139761942 30,1600228230,0469913460,88506398612,50,207014169 40,298673147-0,059656247-1,12360253717,50,2390169 50,341030468-0,040925875-0,77082316922,50,300104592 60,4417548250,046825190,88193449427,50,488580015 70,568400871-0,008785083-0,1654636732,50,559615788 80,5776622660,0045533540,08576067237,50,58221562 90,660645011-0,078429391 -1,477187511 42,50,58221562 100,685992067-0,038888824-0,73245609847,50,647103242 110,788449063-0,060900456-1,14703673452,50,727548607 120,8413547050,0465365520,87649811657,50,887891257 130,9168236140,003459140,06515156862,50,904218151 140,911892922-0,007674771-0,14455137867,50,920282753 151,0772900530,0045151180,08504050972,50,966983846 161,093936465-0,126952619 -2,3911039 77,51,08180517 171,1307913440,0166111090,31286387282,51,147402453 181,2340539150,0440982880,83057434187,51,278152203 191,2851789480,0365768920,68891174692,51,32175584 201,3355493390,07787369 1,466721088 97,51,413423029 RESIDUAL OUTPUTPROBABILITY OUTPUT Observa tion Predicted YResiduals Standard ResidualsPercentileY 108 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

109 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

111 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS En virksomhed, der fremstiller produktionsanlæg, har for 20 leverede anlæg foretaget en opgørelse over hvert anlægs produktionsomkostninger, energiforbruget af anlægget, samt antal fuldtidsansatte, der varetager driften af det pågældende anlæg. Sammenhørende værdier for anlæg, produktionsomkostninger i mio. kr., energiforbrug i Megawatt (MW) samt antal fuldtidsansatte er følgende: O p g a v e t e k s t Til Indhold

Observationer Produktionsomkost- ninger i million kr. Energiforbrug (MW) Antal fuldtidsansatte 11,1145 21,1555 31,2375 41,2786 51,35106 61,63176 71,75207 81,79217 91,79218 101,91248 112,07289 122,43379 132,513910 142,473810 152,955012 162,634213 173,155113 183,595515 193,757215 204,117616 112 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

I vedlagte bilag (slides 118 - 122) er gengivet resultaterne af en regressionsanalyse, der er udført i Excel ved anvendelse af en multiplikativ model. Modellens udformning og uddata er anført i bilaget og er udført på basis af ln(observerede værdier). 113 O p g a v e t e k s t Spørgsmål Er der observationer, som synes at være påvirket af andre, på dette tidspunkt ikke kortlagte faktorer? Kommentér i givet fald på de mulige årsager hertil. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Her kan man betragte det i Bilaget vedlagte slide 121 Residual Output (se udsnit nedenfor) og se på Standard Residuals. 114 Det ses nedenfor, at Observation nr. 16 afviger 2,391 * normaliseret standardafvigelse fra Predicted value, mens observationerne nr. 9 og 20 afviger henholdsvis 1,477 og 1,466 * normaliseret standardafvigelse fra Predicted value. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Øvrige Standard Residuals antager værdier på max./min +/- 1 standardafvigelse. Dette fremgår af Slide 121: Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 115

Så vi ser på ”Standardiserede Residualer”, der er fundet som (Residualer/Standardafvigelse): 116 De 3 største afvigere er markeret, men de øvrige Standardiserede Residualer er jævnt og tilfældigt indenfor +/- 1 Standardafvigelse. Det understøttes af en trendlinie, hvor Residualer = 0,0053 * Observation – 0,0558. R 2 = 0,001, altså ingen trendlinie eller sammenhæng. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Dernæst ser vi på ”Residualer”, der er fundet som (Faktisk observation – Modellens beregning). 117 De 3 største afvigere er markeret, men i øvrigt synes residualerne at være jævnt og tilfældigt fordelt i et relativt snævert bånd omkring 0. Det understøttes af en trendlinie, hvor Residualer = 0,0053 * Observation – 0,0558. R 2 = 0,001, altså ingen trendlinie eller sammenhæng; som før. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Hvis vi derefter ser på de enkelte variable. Og der ses det samme billede. For begge Variable ses også her en tendenslinie, fundet ved ”mindste kvadraters metode”, som har en hældning på praktisk talt 0, og tilsvarende en skæring med den lodrette akse på 0. Billedet er det samme for begge Variable. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 118

Og data synes at være normalfordelt, Alle undersøgelser af residualer viser altså, at der er en meget høj sandsynlighed for, at data er indbyrdes uafhængige, og at de heller ikke er afhængige af en 3. variabel, som ikke er inkluderet i analysen som forklarende variabel. jf. nedenstående figur, som, for at denne betingelse skal være opfyldt, skal være en ret linie,med en høj værdi for R 2. Denne er her 0,9888. Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 119

Bilag, slide 120 – 124 Regressionsanalyse Produktionsomkostninger i million kroner = A * Energiforbrug (MW) B * Antal ansatte C Analysen er udført ved først at tage den naturlige logaritme, "ln", af de observerede værdier og derefter gennemføre regressionsanalysen på dette grundlag. Uddata herfra er angivet nedenfor. Inddata før omskrivning ved hjælp af ln-funktionen: 120 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Observationer Produktionsomkost- ninger i million kr. Energiforbrug (MW) Antal fuldtidsansatte 11,1145 21,1555 31,2375 41,2786 51,35106 61,63176 71,75207 81,79217 91,79218 101,91248 112,07289 122,43379 132,513910 142,473810 152,955012 162,634213 173,155113 183,595515 193,757215 204,117616 121 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

ANOVA dfSSMSFSignificance F Regression23,0863572951,543178647489,80711919,36129E-16 Residual170,0535599340,003150584 Total193,139917229 CoefficientsStandard Errort StatP-valueLower 95% Intercept-1,2095327890,098948359-12,223879197,57986E-10-1,418295579 ln(Energiforbrug)0,1898209480,0461248784,1153701380,0007223070,09250596 ln(Antal ansatte)0,6214474610,1040800735,9708591781,5188E-050,401857701 SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R0,991434439 R Square0,982942247 Adjusted R Square0,980935452 Standard Error0,056130066 Observations20 Upper 95%Lower 95,0%Upper 95,0% lntercept:-1,00077-1,418295579-1,00077 ln(Energiforbrug):0,2871359350,092505960,287135935 Ln(Antal ansatte):0,8410372210,4018577010,841037221 122 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

ObservationPredicted YResidualsStandard ResidualsPercentileY 10,0537960240,0505639910,9523533862,50,104360015 20,0961533450,0436085980,821351227,50,139761942 30,1600228230,0469913460,88506398612,50,207014169 40,298673147-0,059656247-1,12360253717,50,2390169 50,341030468-0,040925875-0,77082316922,50,300104592 60,4417548250,046825190,88193449427,50,488580015 70,568400871-0,008785083-0,1654636732,50,559615788 80,5776622660,0045533540,08576067237,50,58221562 90,660645011-0,078429391 -1,477187511 42,50,58221562 100,685992067-0,038888824-0,73245609847,50,647103242 110,788449063-0,060900456-1,14703673452,50,727548607 120,8413547050,0465365520,87649811657,50,887891257 130,9168236140,003459140,06515156862,50,904218151 140,911892922-0,007674771-0,14455137867,50,920282753 151,0772900530,0045151180,08504050972,50,966983846 161,093936465-0,126952619 -2,3911039 77,51,08180517 171,1307913440,0166111090,31286387282,51,147402453 181,2340539150,0440982880,83057434187,51,278152203 191,2851789480,0365768920,68891174692,51,32175584 201,3355493390,07787369 1,466721088 97,51,413423029 RESIDUAL OUTPUTPROBABILITY OUTPUT Observa tion Predicted YResiduals Standard ResidualsPercentileY 123 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

124 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

126 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS En virksomhed, der fremstiller produktionsanlæg, har for 20 leverede anlæg foretaget en opgørelse over hvert anlægs produktionsomkostninger, energiforbruget af anlægget, samt antal fuldtidsansatte, der varetager driften af det pågældende anlæg. Sammenhørende værdier for anlæg, produktionsomkostninger i mio. kr., energiforbrug i Megawatt (MW) samt antal fuldtidsansatte er følgende: O p g a v e t e k s t Til Indhold

Observationer Produktionsomkost- ninger i million kr. Energiforbrug (MW) Antal fuldtidsansatte 11,1145 21,1555 31,2375 41,2786 51,35106 61,63176 71,75207 81,79217 91,79218 101,91248 112,07289 122,43379 132,513910 142,473810 152,955012 162,634213 173,155113 183,595515 193,757215 204,117616 127 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

I vedlagte bilag (se slides 134 - 138) er gengivet resultaterne af en regressionsanalyse, der er udført i Excel ved anvendelse af en multiplikativ model. Modellens udformning og uddata er anført i bilaget og er udført på basis af ln(observerede værdier). 128 O p g a v e t e k s t Spørgsmål Beregn og forklar eventuelle ændringer i modellens estimat for ”Produktionsomkostninger i million kr.”, hvis det nu viser sig, at der er fejl i Observation 5 og (Energiforbrug (MW); Antal fuldtidsansatte) rettelig bør ændres fra (10; 6) til (11; 7). Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

129 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Model: Produktionsomkostninger i million kroner = A * Energiforbrug (MW) B * Antal ansatte C. Denne multiplikative regressionsmodel kan ved anvendelse af logaritmer omskrives til en lineær regressionsmodel, der kan udtrykkes således:

Vi antager, at lnY i er normalfordelt, lnY i har middelværdi μ i, som er en lineær funktion af x 1 og x 2, ln Y i har konstant varians σ 2, lnY i ’erne er stokastisk uafhængige der er ingen multikollinearitet mellem x 1 og x 2. Og fordi modellen nu er blevet lineær (i naturlige logaritmer), kan vi anvende ”mindste kvadraters metode” til at finde det matematiske udtryk, som ”passer til” (logaritmen af) de foreliggende observationer. 130 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

131 For det første skal modellen regnes om, hvilket der dog i sagens natur ikke er noget krav eller ønske om her, men det er i sig selv en vigtig pointe. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

132 Fra bilag fremgår, at den estimerede additive model er fremkommet med udgangspunkt i en multiplikativ model, der er angivet som: Produktionsomkostninger i mio. kr. = A * Energiforbrug (MW) B * Antal ansatte C Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Med den estimerede model kan vi nu udtrykke sammenhængen i mio. kr. til Produktionsomkostninger = 0,298337*Energiforbrug(MW) 0,189821 *Antal ansatte 0,621447 De samlede produktionsomkostninger kan man betragte som en gennemsnitlig grundomkostning på 0,298337 og en output-elasticitet (ΔInput = 1% => Δprod.omk. = ??%) for energiforbrug (MW) på 0,189821 og for Antal ansatte på 0,621447. Til Indhold

For den oprindelige observation nr. 5 får man, at Produktionsomkostninger i mio. kr. = 0,298337 * 10 0,189821 * 6 0,621447 = 1,4064. Hvis inddata til observation nr. 5 rettelig bør være (11, 7) får man i stedet, at Produktionsomkostninger i mio. kr. = 0,298337 * 11 0,189821 * 7 0,621447 = 1,57505, hvilket er en stigning i output på 12 % (1,4064 => 1,57505) på grundlag af en stigning i input på 10% (10 => 11) i observeret Energiforbrug og 16 2/3 % (6 => 7) i observeret Antal ansatte. Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 133 Til Indhold

Bilag, slide 134 – 138 Regressionsanalyse Produktionsomkostninger i million kroner = A * Energiforbrug (MW) B * Antal ansatte C Analysen er udført ved først at tage den naturlige logaritme, "ln", af de observerede værdier og derefter gennemføre regressionsanalysen på dette grundlag. Uddata herfra er angivet nedenfor. Inddata før omskrivning ved hjælp af ln-funktionen: 134 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

Observationer Produktionsomkost- ninger i million kr. Energiforbrug (MW) Antal fuldtidsansatte 11,1145 21,1555 31,2375 41,2786 51,35106 61,63176 71,75207 81,79217 91,79218 101,91248 112,07289 122,43379 132,513910 142,473810 152,955012 162,634213 173,155113 183,595515 193,757215 204,117616 135 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

ANOVA dfSSMSFSignificance F Regression23,0863572951,543178647489,80711919,36129E-16 Residual170,0535599340,003150584 Total193,139917229 Coefficients Standard Errort StatP-valueLower 95% Intercept -1,209532789 0,098948359-12,223879197,57986E-10-1,418295579 ln(Energiforbrug) 0,189820948 0,0461248784,1153701380,0007223070,09250596 ln(Antal ansatte) 0,621447461 0,1040800735,9708591781,5188E-050,401857701 SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R0,991434439 R Square0,982942247 Adjusted R Square0,980935452 Standard Error0,056130066 Observations20 Upper 95%Lower 95,0%Upper 95,0% lntercept:-1,00077-1,418295579-1,00077 ln(Energiforbrug):0,2871359350,092505960,287135935 Ln(Antal ansatte):0,8410372210,4018577010,841037221 136 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Til Indhold

ObservationPredicted YResidualsStandard ResidualsPercentileY 10,0537960240,0505639910,9523533862,50,104360015 20,0961533450,0436085980,821351227,50,139761942 30,1600228230,0469913460,88506398612,50,207014169 40,298673147-0,059656247-1,12360253717,50,2390169 50,341030468-0,040925875-0,77082316922,50,300104592 60,4417548250,046825190,88193449427,50,488580015 70,568400871-0,008785083-0,1654636732,50,559615788 80,5776622660,0045533540,08576067237,50,58221562 90,660645011-0,078429391-1,47718751142,50,58221562 100,685992067-0,038888824-0,73245609847,50,647103242 110,788449063-0,060900456-1,14703673452,50,727548607 120,8413547050,0465365520,87649811657,50,887891257 130,9168236140,003459140,06515156862,50,904218151 140,911892922-0,007674771-0,14455137867,50,920282753 151,0772900530,0045151180,08504050972,50,966983846 161,093936465-0,126952619-2,391103977,51,08180517 171,1307913440,0166111090,31286387282,51,147402453 181,2340539150,0440982880,83057434187,51,278152203 191,2851789480,0365768920,68891174692,51,32175584 201,3355493390,077873691,46672108897,51,413423029 RESIDUAL OUTPUTPROBABILITY OUTPUT Observa tion Predicted YResiduals Standard ResidualsPercentileY 137 Til Indhold Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Opgave 11 (5 %). Vi befinder os på et marked, hvor der er observeret en afsætningsfunktion, hvor det for 10 < Q < 100 enheder/periode gælder, at Priselasticiteten = Ep = - 1,274. O p g a v e t e k s t Spørgsmål Hvad er den optimale mængde, Q o /periode? 140 Til Indhold 140 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

og ΔQ = -1,274% => faldende TVC (= AVC * Q), altså 2 effekter på Nettoresultatet, der er modsatrettede. Hvis ΔP = -1 %, bliver effekten omvendt. 141 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Ep = %-ændring i Q, når %-ændring i P er på +1% = -1,274. Det betyder, at hvis ΔP = +1 % => ΔQ = -1,274% => faldende omsætning (= P * Q) Til Indhold

Da vi ikke kender forløbet af TVC og dermed MC, ved vi ikke, hvilken af de 2 effekter Δomsætning; negativ for resultatet 142 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS eller ΔTVC, positiv for resultatet der ud fra et givet udgangspunkt er størst. Derfor kan vi ikke på det foreliggende grundlag sige noget om de optimale værdier af P, Q og dermed Omsætning etc. Til Indhold

144 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Vi har at gøre med et produkt, hvor det gælder, at 0 < Q < 100 enheder/periode:AVC = 0,2Q + 30 100 < Q < 200 enheder/periode:MC = -0,2Q + 90 200 < Q < 300 enheder/periode:TVC = 50Q + 1.000 O p g a v e t e k s t Spørgsmål Fastlæg værdierne for AVC, MC og TVC, når Q = 250 stk./periode. Til Indhold

145 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Jvf. ovenstående gælder, at når 200 < Q < 300 enheder/periode:TVC = 50Q + 1.000 Bemærk, at oplysningerne om 0 < Q < 100 enheder/periode:AVC = 0,2Q + 30 100 < Q < 200 enheder/periode:MC = -0,2Q + 90 ikke er relevante her, da der for det efterfølgende og relevante interval for Q (> 200) er angivet oplysninger om TVC, som netop ”har hukommelse”. og dermed inkluderer dette også eventuelle oplysninger om omkostningerne i intervaller for lavere værdier af Q. Derfor:Q = 250 => TVC = 13.500. Til Indhold

146 Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS men under ovenstående forudsætninger om uændrede værdier af FC er MC = dTVC/dQ = TVC’ - og derfor Det forudsættes, at FC er uændret - altså virkelig ”konstant” - uanset værdien af Q. Definitorisk er MC = dTC/dQ = TC’, Idet AVC = TVC/Q får man, at AVC = 50 + 1.000/Q. Derfor:Q = 250 => AVC = 54. MC = TVC’ = dTVC/dQ = (50Q + 1.000)’ = 50 kr. Til Indhold

Så derfor vil jeg sige ”Tak for nu”. 148 Til opgavetekst

1 HA Almen, Midtvejsprøve d. 7. januar 2014 Det skal - bare for en god ordens skyld - understreges, at den efterfølgende ”vejledende løsning” langt overstiger.

Lignende præsentationer

Præsentationer af emnet: "1 HA Almen, Midtvejsprøve d. 7. januar 2014 Det skal - bare for en god ordens skyld - understreges, at den efterfølgende ”vejledende løsning” langt overstiger."— Præsentationens transcript:

Lignende præsentationer

Om projektet

Feedback

Log ind

Logge ind via sociale netværk:

1 HA Almen, Midtvejsprøve d. 7. januar 2014 Det skal - bare for en god ordens skyld - understreges, at den efterfølgende ”vejledende løsning” langt overstiger.

Lignende præsentationer

Præsentationer af emnet: "1 HA Almen, Midtvejsprøve d. 7. januar 2014 Det skal - bare for en god ordens skyld - understreges, at den efterfølgende ”vejledende løsning” langt overstiger."— Præsentationens transcript:

Lignende præsentationer

Om projektet

Feedback