Matematiske færdigheder

Præsentationer af emnet: "Matematiske færdigheder"— Præsentationens transcript:

1 Matematiske færdigheder
Et udredningsarbejde finansieret af Undervisningsministeriet. I dag: Proces og refleksion. Hvordan startede det

2 Bedre færdigheder efterlyses ofte fx i 1.g.
En rektor: ”Ud fra samtaler med og skrivelser fra elever på **** Gymnasium, hvor jeg er rektor, og hvor jeg underviser i Matematik C, kan jeg melde, at det står slemt til i Grundskolen”. Han rapporterer derefter fra et Navimatmøde, hvor han syntes det stod lige så slemt hos nogle seminariefolk: Hovedpointen var, at man nu var gået bort fra at lære eleverne algoritmerne for multiplikation og division. Eleverne skulle selv komme frem til deres måde at gøre det på, og ingen metode var naturligvis bedre end andre. Man morede sig over, at elever tidligere brugte tid på at øve sig i opgaver som f. eks. 64:4. De mente i øvrigt, at tidligere elever ikke forstod, hvad det drejede sig om.”

3 Initiativ fra Ministeriet
Inspireret af evalueringen af gymnasiereformen formulerer kontorchef Torben Christoffersen og fagkonsulent Bjørn Grøn et notat, efterår 2009: ”Ministeriet kunne derfor - når strategien er vedtaget - tage initiativ til at nedsætte en arbejdsgruppe, der specielt skal kaste lys på "grundlæggende elementære færdigheder i matematik" på langs af uddannelsessystemet.  Det vil være af stor betydning for en elevs gang gennem uddannelsessystemet, at der fra det ene led i uddannelsessystemet til det næste er enighed om, hvad der forstås ved dette begreb”.  Bjørn : Haarder reagerede ved at sige, at han syntes det var en fremragende ide. På et nyligt møde hvor han havde indkaldt nogle fagkonsulenter til drøftelse af læreplansjusteringer mindede jeg ham om dette og han bekræftede, at det skulle vi sætte i gang. Det betyder også, at vi må kunne få en eller anden bevilling til dette arbejde. Hvor meget aner jeg selvfølgelig ikke.  Når vi engang når dertil at nedsætte en sådan arbejdsgruppe, ville du så kunne overtales til at medvirke?  De bedste hilsner Bjørn Hvilket jeg svarede Ja til og så i øvrigt fik et meningitislignende angreb, som det tog 10 uger på Rigshospitalet at få bugt med. I mellemtiden var der blevet udarbejdet et kommissorium for arbejdet.

4 Kommissorium for udredningen
Udredningsarbejdet skal - foretage en kortlægning af vigtigheden af en række konkrete færdigheder samt på hvilke trin der mest hensigtsmæssigt arbejdes med dem. - sætte fokus på forholdet mellem kompetencer og færdigheder i en moderne verden med adgang til lommeregner og værktøjsprogrammer af enhver art. - foretages på langs af uddannelsessystemet og have særligt fokus på overgangsproblemer og forventninger, når elever går fra et skolesystem til det næste. - foretages på tværs af uddannelsessystemet og have et særligt fokus på fag og på uddannelser, hvor matematik hovedsageligt indgår som hjælpedisciplin. Rekvirenten for udredningen blev Matematiklærerforeningen for gymnasiet. Så LMFK søger nu ministeriet på dette g rundlag og sørger så selv for hele administrationen på forventet efterbevilling fra ministeriet.

5 Hvordan kan man vide noget?
Viden kan her komme fra Praktikerens erfaring Dansk forsøgsarbejde Udenlandske erfaringer Didaktisk forskning og uddannelse. Matematisk forsk-ning og uddannelse Meninger/holdninger kan komme fra Viden Praktikerens oplevelser Praktikerens socialisering Personligt politisk og pædagogisk filosofi Egennytte: respekt, løn og arbejdsvilkår

6 Medlemmer af udvalget H. C. Hansen, dr. scient. Lektor UCC.(formand)
Steen Markvorsen, professor DTU Thomas Vils Pedersen, lektor Life, Københavns Universitet Lisbeth Fajstrup, lektor Matematisk Institut, Ålborg Universitet Jeppe Skott, professor Linnéuniversitetet Svend Hessing, folkeskolelærer og udpeget af Danmarks Matematiklærerforening Nils Fruensgaard, lektor på Københavns Åbne Gymnasium Ann Risvang, lektor hhx, Århus Peter Allan Nielsen, lektor Syddansk Erhvervsskole Thomas Kaas, lektor UCC fagkonsulent Klaus Fink, matematik i folkeskolen fagkonsulent Laila Madsen, matematik på hhx fagkonsulent Bjørn Grøn, matematik på stx/hf fagkonsulent Marit Hvalsøe Schou, matematik på htx fagkonsulent Elsebeth Pedersen, matematik på erhvervsuddannelse fagkonsulent Per Bengtson, almen voksenuddannelse På grund af min sygdom holdt udvalget første møde uden mig

7 Første møde med formand, august 2010

8 Udsnit dagsorden for møde 1
3. Refleksioner over kommissoriet siden sidst, herunder vores fælles tolkning af begreberne ”færdighed” og ”kompetence”. 4. Succeskriterier for arbejdet i gruppen – udover at leve op til kommissorium. Og i forlængelse heraf drøftelse af arbejdets tilrettelæggelse 5. Det store punkt: Præsentation af perspektiver på færdigheder på de områder, der har lagt indlæg i dropbox. Denne gang kan vi tage dem Top-Down startende med spor 1: nat-tek-professioner ,universiteter, UC og som forudsætning herfor htx, hhx stx med grundskolen som basis. spor 2: også Top-down: erhverv, erhvervsuddannelserne med grundskolen som basis. spor 3, samfundsborger, menneske, hverdagsliv. Grundskolen er i princippet afsluttende for den basale uddannelse her, men C-niveau byder vel ind på samme spor.

9 4. møde: Fravalg af kurs Forslag om kæmpematrice med niveau/færdighed og MåltVedAfslutning% / NødvendigVedStart% Lægge 8 til 96 på 5 sek. 70% af 1000 kr Løse ligningen 7x -3 = 2 x + 27 Tegne simpelt søjlediagram i Excel 1. års UNI–Ingeniør 100/100 99 / 90 100 /100 2–års finansøkonom 98 / 95 34 / 95 97 / 60 B 84/100 75/50 Mat–C niveau 98 / 90 77/50 56 / 5 7–9 kl. 4–6 kl. 94 / 60 88/0 1. – 3. klasse 5/0

10 4. Møde ekspertinput Inge Henningsen: Væsentlige moderne færdigheder i statistik og hvornår de bedst erhverves ? Arne Mogensen: Hvilke pointer er der i den danske folkeskoles matematikundervisning lige nu? Intern afklaring: Foreløbig fastlæggelse af kapitler til slutrapport og arbejdsplan for foråret.

11 Resultater af arbejdet
Men det var måske lige så stort et resultat, at alle ministeriets fagkonsulenter have mange møder sammen, hvilket de ikke normalt har i deres daglige arbejde. DMUK har haft samme funktion, men nu er det ikke mere obligatorisk for dem at møde op i DMUK.

12 Oversigt Færdighedsbegrebet i matematik Færdigheder og kompetencer
Matematiske færdigheder i en moderne it-verden Matematiske færdigheder der efterspørges i andre fag Udvikling af færdigheder på langs gennem skolesystemet.

13 Færdighed versus forståelse
Det synes historisk at gå i bølger i DK Men det bliver efterhånden afklaret at der ikke er tale om nogen modsætning med nærmere en symbiose og gensidig forudsætning. Anna Sfard: ”paradoxically, the emphasis on understanding may have deprived children of something to understand.” Et punkt hvor jeg har flyttet mig i forhold til udgangspositionen, ogås inspireret af at se børnebørn efterhånden få stor mening i tælleremsen, en mening og forståelse de selvfølgelig ikke kan få uden at kende remsen .

14 Forskelle mellem institutioner
Forskelle mellem institutioner. Nogle elever fra læreruddannelsen Zahle: Der var faktisk flere krav til færdigheder og metoder på gymnasiet, men på læreruddannelsen er der større krav til forståelsen. På gymnasiet skulle vi reproducere beviserne – her skal vi selv udvikle dem. Der er langt mere vægt på produkt end på proces i gymnasiet. På læreruddannelsen er det lige omvendt. - Der var langt mere fokus på færdigheder i gymnasiet end på kompetencer. Her er det lige omvendt.

15 Dansk udvikling i grundskolen
1995 faghefte.: ”i arbejdet med de naturlige tal udvikler eleverne fortsat egne beregningsmetoder. 2001 Klare Mål 2002 KOM-rapporten 2003 Fælles Mål 2009 Faghefte baseret på kompetencemål. Igen er færdigheder i et gensidighedsforhold til kompetencer, bl.a. en forudsætning.

16 Færdighedsbegrebet, sprogligt
Latinske udviklinger: habeo (jeg har) bliver til sp. habilidad og it. abilità, der importeres til eng. ability og dansk habil. Germanske udviklinger: vertig (færdig) danner Vertigkeit. Men har man en færdighed? Sprogligt glidende forhold til evne og kunnen! Lad og se på Sverige og Norge. Men meget tyder på at en færdighed ikke er noget man har. Den er tids- og situationsafhængig og meget sværere at overføre til nye situationer end man skulle tro.

17 Nordisk inspiration/forskel
2003 Skolverket/Sverige: ”Baskunnande i matematik” Fastlæggelse af baskun-nande kan føre til at over-liggeren generelt sænkes. Fine altfavnende mål kan føre til at indhold, som faglige beslutningstagere og lærere i forvejen ynder virkelighedssminkes og sælges i ny indpakning. 2010 Kunnskabsdep/Norge Grunnleggjande ferdigheiter er integrerte i kompetansemåla, der dei medverkar til å utvikle fagkompetansen og er ein del av han. I matematikk forstår ein grunnleggjande ferdigheiter slik: (1 af 4 gf.) Å kunne uttrykkje seg munnleg i matematikk inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål, argumentere og forklare ein tankegang ved hjelp av matematikk. Det inneber òg å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte problem og løysingsstrategiar med andre. --- udtrykke sig skriftlig--

18 Norske grundlæggende færdigheder
Å kunne lese i matematikk inneber å tolke og dra nytte av tekstar med matematisk innhald og med innhald frå daglegliv og yrkesliv. Slike tekstar kan innehalde matematiske uttrykk, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Å kunne rekne i matematikk utgjer ei grunnstamme i matematikkfaget. Det handlar om problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt i praktiske, daglegdagse situasjonar og matematiske problem. For å greie det må ein kjenne godt til og meistre rekneoperasjonane, ha evne til å bruke varierte strategiar, gjere overslag og vurdere kor rimelege svara er. . Å kunne bruke digitale verktøy i matematikk handlar om å bruke slike verktøy til spel, utforsking, visualisering og publisering. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale hjelpemiddel til problemløysing, simulering og modellering. I tillegg er det viktig å finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med høvelege hjelpemiddel, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat (Kunnskapsdepartementet, 2010).

19 Hovedproblemet er måske 9.kl1.g
En lektor: ”Jeg husker adskillige forældremøder i 1g op gennem 90erne, hvor jeg måtte forklare, at der altså var en betragtelig niveauforskel mellem kravene i folkeskolen og kravene i 1g i gymnasiet, og at det ikke nødvendigvis var deres håbefulde pode, der ikke havde fulgt ordentlig med i folkeskolen eller ikke var godt nok begavet, men at springet var indbygget i systemet. Det var her konflikten med folkeskolen blev åbenbar. Den blev ofte diskuteret lærerne indbyrdes, og den blev diskuteret med elever, der beklagede sig over, at alting var gået så langsomt i folkeskolen og at de alligevel ikke var blevet ordentligt klædt på til gymnasiet”.

20 Hvor galt står det til - fx i algebra?
Opgave, 2009 øverst, 2010 nederst Rigtige / besvarede 2009 Rigtige / besvarede 2010 8. 9x = 72 9. 8x = 56 83 % / 93 % 82 % / 93 % 9. 4x – 10 = 2 = 3x + 12 80 / 93 % 75 % / 90 % 10. 3x + 11 = 2x + 7 x = 2x + 20 47 / 78 % 65 % / 81 % Ingen i 2009 16. (Billede af kvadrat med siden s) Sæt ring omkring det udtryk, der beskriver kvadratets omkreds. s + 4, , 4 · s, s2, - 73 % / 100 % Indsæt <, > eller = så hvert udsagn bliver sandt, når t = 4 og s = 3. 20. s + 1  t 21.  1 Ingen i 2010 94 % / 99 % 70 % / 98 % Reducer 22. a + 3a – 2a 23. a(a + 3b) – ab 78 % / 94 % 24 % / 84 % Ved at gennemgå statistikken fra FA som fremlagt af fagkonsulenten nåede udvalget frem til at det stod rimeligt til , så rimeligt at vi kom til at tænke på om færdigheder er noget man har eller som man har her og nu i en given situation. Se næste dias. Faktisk skyder FA på nogen punkter over forventningerne hos 1. g. lærere. Således i regning med negative tal.

21 Har vi brug for et snævert færdighedsbegreb?
I kender den godt: Tegn linjen y = x + 5. Mange kan, men drejer det sig om selve sammenhængen y = x + 5 og spørgsmålet: “Hvad kan du sige om x i forhold til y” (Blomhøj 1997) svarede klassen på 20 elever i både øst og vest. Type (a): 6 besvarelser, der angiver, at x er 5 mindre end y Type (b): 4 besvarelser, der fortolker ligningen uden at svare på spørgsmålet Type (c): 7 besvarelser, der angiver, at x er 5 større end y. Type (d): 3 besvarelser, der hverken fortolker ligningen eller svarer på spørgsmålet Fx: “Aner det virkelig ikke!! For man ved jo ikke hvad x er men heller ikke y.”

22 Clarkes bredere ”tools”
Vi foreslår at man evt. bruger et bredere fx Clarkes tools: Tool possession Tool understanding Tool application Tool selection Bl.a. med henblik på problemerne ved overføring af færdighed, der bl.a. rammes af at en færdighed læres ved deltagelse i en situation og ses tit ikke at være overførbar til deltagelse et andet sted i en matematisk set isomorf aktivitet

23 ”Mathematical proficiency” (Kilpatrick,2001)
Conceptual understanding Procedural fluency – skill in carrying out procedures flexibly, accurately, efficiently, and appropriately Strategic competence – ability to formulate, represent, and solve mathematical problems Adaptive reasoning – capacity for logical thought, reflection, explanation, and justification Productive disposition – habitual inclination to see mathematics as sensible, useful, and worthwhile

24 Delkonklusion (egen regning)
Vi kunne godt dekonstruere og opbygge noget andet og måske bedre. Men realistisk set skal skift i didaktiske grundbegreber være overvældende velargumenterede, før de skal føres frem. Der er stadig stor kvalitet og mange udviklingsmuligheder i vores nuværende kompetencebeskrivelse med færdighed som en underordnet og snæver og lidt stereoptyp underkategori. Skarpere kompetenceevaluerings-instrumenter efterlyses, specielt formative.

25 Overgangproblemer Grundskole-samfundsborger (ikke medtaget i rapporten) Grundskole-erhvervsskoler: 100% færdighed og sikkerhed i de ofte simple professionelle beregninger. Grundskole[stx,hhx,htx,hf] Gymnasie1. år Universitet/UC

26 Grundskole->samfundsborger (HCH 1994. Matematik og demokrati)
Spørgsmål ja% byråd ja% amtsr. ja højskof. Mener du, at utilstrækkelige kundskaber/­manglende selvtillid i matematik/regning er en væsentlig hæmsko for folkelig deltagelse i demokratiet i bred forstand ? 43% 20% 37% Kan du nævne situationer i byrådet/udvalg, hvor en af dine kolleger har haft vanskeligheder med tal, regning/matema­tik? (Har du selv?) 61% (35%) stat. usikkert Synes du, at folkeskolen giver tilstrækkeligt grundlag i matematik/regning til at man kan deltage fuldt ud i byråds­/amtsråds-arbejdet?" 60% 80%

27 Hvad manglede byrødderne konkret fra FA? (HCH 1994)
- noget jeg personligt mangler indsigt i, er principperne for aktier, obligationer, forrentning o.s.v. - især statistik og regnskabslære. - f.eks. statistik og specielt forudsætningerne, validitet og reliabilitet bag tal/tabeller. - regnskabslære - det er nødvendigt at have større regnskabskendskab for at kunne forstå de store budgetter. - ikke nok praktisk regning.

28 Grundskole->erhvervsskoler Fagkonsulenten i vor rapport:
I erhvervsuddannelserne er der i de fleste brancher tale om færdigheder på et ret enkelt niveau, men hvor kravet til gengæld er fuld beherskelse, fordi det vil være dyrt eller farligt at begå regnefejl.  Gartneruddannelsens sprøjtecertifikat, hvor den forventede matematiske færdighed er, at eleven kan blande væsker i korrekt målforhold. Beregningen er ganske enkel, men der er krav om 100% korrekthed i udførelsen, fordi en regnefejl vil have fatale konsekvenser for såvel miljø som økonomi. Der findes eksempler på arealer, der har stået udyrkbare hen i årevis pga. en kommafejl, som resulterede i en 10-dobling af den giftmængde, der blev udsprøjtet.   I elektrikeruddannelsen indgår en del formelberegning, som f. eks. skal sikre, at kablers dimensioner passer til den strøm, der skal gå igennem dem. Fejlberegninger kan således betyde kortslutning eller brandfare, eller at de apparater, der aftager strømmen, bliver ødelagt. (Uddrag fra vores rapport, skrevet af fagkonsulenter for erhvervsuddannelserne.)

29 Grundskole->erhvervsskoler (Fagkonsulenten i vor rapport)
Når du skal beregne fald (højdeforskel), længde og promille, kan du bruge nedenstående trekant. Hold en finger over den størrelse, du skal beregne. Så kan du se, hvad du skal gøre med de andre størrelser. Eksempel 1: Hold fingeren over ‘fald’. Så kan du se, at du skal gange ‘promille’ og ‘længde’. Eksempel 2: Hold fingeren over ‘promille’. Så kan du se, at du skal dividere ‘fald’ med ‘længde’.

30 9. Kl 1.g. (150 stx censorer) Høj vægt/forventning
Udpeg punktet (2,3) i koordinatsystemet. Udregn · 7. Løs ligningen 2x + 2 = 6. Svar på gangestykker fra den ‘lille’ tabel. Udregn 2^3. Lav vægt/forventning Løs en ligning med brug af hjælpemidler. Lav et søjlediagram i Excel. Skriv matematikform-ler i Word. Brug af geometriprogram.

31 3. g  1. år på universiteter Eksempler på topprioritet med papir og blyant: gennemsnit på mere end 4,7 på en væsentlighedsskale fra 1 til 5: (N = 50 universitetslærere) Løs ligningen a(x + 3) + 2x = 7, hvor a er en konstant (CAS 2,20) Reducér udtrykket (x2x3) (CAS 2,00) Reducér udtrykket (x + y)2 − (x − y) (CAS 2,18) Mere end 4,0: Reducér udtrykket ln(xy) − ln y (4,26) (CAS 2,16) Mindre end 3,0: Punkterne (x,y,z), som opfylder x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z+5 =0 ligger på en kugleflade. Finde centrum og radius i kuglefladen (2,54) (CAS 1,66) Klip\Spørgeskema-opgørelse.pdf

32 IKKIT KI= kognitions og interaktions-
Værktøjsprogrammer som Maple ændre helt på relevansen af forskellige færdigheder. Men IKKIT kan også i langt større omfang bruges til at støtte indlæringen af vigtige traditionelle færdigheder. På universiteterne er der vidt forskellige holdninger til dette. Se fx LynOpgave4 fra Tor.pdf

33 Et bolsje til hjemrejsen
Opgave (Fra Martin Gardner’s [Gardner, p. 115]).: Et cylindrisk hul, som er 6 cm langt, er boret lige igennem midten af en massiv kugle. Hvad er rumfanget af den resterende del af kuglen? Færdighedsrapporten endelig vers. 16.dec pdf